granice bbb: czy moglby mi ktos wytlumaczyc dlaczego granica nie istnieje

	x2
lim
	x2 + y2

(x,y)−>(0,0)

Krzysiek: sprawdź czy granice iterowane są równe.

bbb: no wlasnie sa rowne, albo po prostu mi tak wychodzi...

Vizer: Bo zależy od kąta φ : (zamieniając na biegunowe)

	r2cos2φ
limr−>0		= cos2φ
	r2

Granica nie istnieje, bo zmieniając φ zmieniamy wartość granicy, a przecież gdyby granica istniała powinna mieć wartość stałą.

bbb: a nie przepraszam, nie ten przyklad. jedna z granic dazy do 1. druga do 0 tak?

Vizer: Tak.

bbb: hmm a jak mam limU{x³}{{x² + y²} to liczac granice iterowane obie granice wychodza nam 0, ale nie jest to wystarczajacy warunek z tego co wiem z teori,a wiec jak to sprawdzic czy napewno granica istnieje>>

Vizer: Metodą jaką napisałem na górze, zamień na współrzędne biegunowe i zobacz czy granica będzie zależeć od φ.

bbb: nie bardzo rozumiem jak to zamieniales...

Basia: współrzędne biegunowe to r i φ x = r*cosφ y = r*sinφ lim przy (x,y)→(0,0) = lim przy r→0 i dowolnym φ podstawiasz i liczysz

bbb: licznik jak podstawil rozuiem a w mianowniku po prostu wyciagna r² i pomnozyl razy jedynke trygonometryczna i wyszlo mu r², dlatego?

bbb: wiec w moim pozniejszym przykladzie wyzlo by ze

	r3cos3
lim r−>0		= lim r−>o r* cos3
	r2

Basia: x²+y² = r²*cos^2φ+r²*sin²φ = r²(sin²φ+cos²φ) = r²*1 = r²

Basia: dobrze; a lim_r→0 r*cos³φ = 0*cos³φ = 0

bbb: zaomnialam o φ dzieki wielkie za wytlumaczenie !

Basia: uzupełnienie: bo cos³φ jest ograniczony

bbb: a czy ten sposob tez sie sprawdzi dla takiego przykladu>

	xy2
lim
	x2 + y4

bo poprzez zamiane wspolrzednych wychodzi mi

	rcosγsin2γ
lim r−>0
	cos2γ + r2sin4

i szczerze powiedzawszy nie wiem co dalej...

Krzysiek: tutaj np. dobrze jest dobrać taki podciąg x=a/n² y=1/n n→∞

bbb: ehh, nie polapie sie nigdy w tych granicach dwoch zmiennych

Vizer: No i to już przypadek trudniejszy, nie ma tak prosto, bo nie mamy to jednoznacznie pokazane czy granica istnieje czy też nie. Skupmy się na czynniku, który nie ma przy sobie "r", bo to on głównie tutaj wpływa na naszą granicę: dla cos²φ = 0, granica zmierza do 0 dla cos²φ ≠ 0 granica także zmierza do 0 Wydaje się, że wyczerpaliśmy juz wszystkie przypadki i mozemy stwierdzić, ze granica istnieje i jest równa 0, ale nic bardziej mylnego, bo zostało jeszcze sprawdzenie co w sytuacji gdy : cos²φ −> 0 ? dlatego wybieramy drogę, która mogłaby być kontrprzykładem, spróbujmy z x = y², mamy teraz

	y4		1
limy−>0		=		≠ 0
	2y4		2

Wniosek : Ta granica nie istnieje ponieważ znaleźliśmy drogę, dla której wartość granicy jest różna od wartości granicy dla innych dróg.