geometria xantor: Wykaż, że w dowolnym trójkącie ABC prawdziwa jest podwójna nierówność 3(a+b+c)/4< Sa + Sb + Sc < a+b+c, gdzie a, b, c oznaczają długości odpowiednich boków trójkąta, Sa, Sb, Sc − długości środkowych poprowadzonych odpowiednio do boków o długościach a, b, c.

Eta: |AD|=S_a =3x, |BE|=S_b=3y, |CF|=S_c=3z Z nierówności trójkąta:

	b
2x+2y>c 2x+y>
	2

	c
2x+2z>b 2y+z>
	2

	a
2y+2z>a 2z+x>
	2

+−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−

	3		a+b+c
4x+4y+4z> a+b+c /*		3x+3y+3z>
	4		2

	3(a+b+c)		a+b+c
3x+3y+3z>		Sa+Sb+Sc>		< a+b+c
	4		2

	3(a+b+c)
Sa+Sb+Sc>
	4

	3(a+b+c)
zatem		< Sa+Sb+Sc < a+b+c
	4

c.n.u.

Eta: Ejjj xantor pasuje?

Eta: Z grzeczności wypadałoby coś napisać.... no nie?

xantor: nie wiem sam dla mnie jest nie jasne ta druga nierówność nie ma prostszego sposobu?

xantor: tą 1 nierówność już miałem ale nie wiem jak łatwiej zrobić tą drugą aby wyszło Sa + Sb + Sc <a +b + c

Eta:

	1
A jasne jest dla Ciebie to,że		<1
	2

	a+b+c
zatem		< a+b+c
	2

Eta: Miał problem i ............ poszedł spać

ICSP: Oczywiście ze tak. Wszycy wiemy że z problemem najlepiej się przespać

Mila: 2) S_a+S_b+S_c < a+b+c Patrz rysunek: Uzupełniam ΔABC do równoległoboku ABDC, z własności równoległoboku i własności odległości mamy: 2S_a<b+c w ΔADC Podobnie: 2S_c<a+b Analogicznie mamy: 2S_b<a+c stąd: 2S_a+2S_b+2S_c<b+c+a+b+a+c⇔2S_a+2S_b+2S_c<2(a+b+c)⇔ S_a+S_b+S_c<a+b+c

Eta: