granice wielu zmiennych xxx: Czy mogłby mi ktos pomoc z obliczaniem granic z funkcji wielu zmiennych. Oblicz granice

	x2−y2
lim		przy (x,y)→(0,0)
	x2+y2

	1		1
lim(x+y)sin		sin		przy (x,y)→(0,0)
	x		y

	xy2
lim		przy (x,y)→(0,0)
	x2+y4

Vizer: Zamieniając na współrzędne biegunowe :

	r2cos2φ − r2sin2φ
limx,y−>(0,0)		= limr−>0 cos2φ − sin2φ
	r2

Granica nie istnieje, zależy od φ.

xxx: aha czyli za kazdym razem kiedy mam obliczyc granice z funkcji wielu zmiennych to na;ezy to robic ze wspolrzednych biegunowych?

xxx:

	1
a w b) jak to uzasadnic do tam bedzie np. sin
	rcosα

Vizer: Niestety, przejście na współrzędne biegunowe nie jest uniwersalną metodą. W drugim zadaniu np. właśnie nie przejdzie, a przynajmniej nie od razu.

	1		sin(1x)		sin(1y)
(*) lim(x,y)−>(0,0) (x + y) *		*		*
	xy		1x		1y

↓ ↓ 1 1

	x + y		r(cosφ + sinφ)
lim(x,y)−>(0,0)		= limr −> 0		=
	xy		r2cosφsinφ

	cosφ + sinφ
= limr −> 0		− nie istnieje, zależy od φ
	rcosφsinφ

Więc (*) także nie istnieje.

xxx: aha w odpoweidzich mam odpowidz 0 wiec pewnie zrobili blad w nich.

Vizer: Wydaje mi się, że błędu nie popełniłem, oprócz tego wolfram też twierdzi, że nie istnieje, ale z nim jeśli chodzi o granice trzeba być ostrożnym : http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%28%28x%2Cy%29-%3E%280%2C0%29%29%28%28x%2By%29sin%281%2Fx%29sin%281%2Fy%29%29

Trivial: W pierwszym można policzyć granice iterowane:

x2−y2		−y2
	→		→ −1
x2+y2		y2

x2−y2		x2
	→		→ 1
x2+y2		x2

Zatem granica nie istnieje. W drugim granica to raczej zero (mamy przypadek [0*{liczba z przedziału [−1,1]}]), zaraz jeszcze zobaczę. Jeśli chodzi o wolfram, to on nie za dobrze liczy granice wielu zmiennych. W trzecim wybieramy: 1) x = y²:

	y4		1
		→
	y4+y4		2

2) x = −y²

	−y4		1
		→ −
	y4+y4		2

Granica nie istnieje.

xxx: bardzo dziekuje ale skad w takim razie bierze sie to 0 w b?

Trivial: W drugim można to rozwiązać np. tak:

	1		1
0 ≤ |(x+y)sin(		)sin(		)| ≤ |x+y| → 0
	x		y

Zatem granica jest 0.

Vizer: Trivial a co jest błędne w moim rozwiązaniu? Chyba za szybko stwierdziłem, że granica nie istnieje.

Trivial:

sin(1x)
	nie dąży przecież do jedynki.
1x

Vizer: O kurcze faktycznie, ale załóżmy że on dążą do tego 0, to granica :

	x + y
lim(x,y)−>(0,0)
	xy

też w takim przypadku ma dążyć do 0, więc wychodzi na to, że tą granicę :

	cosφ + sinφ
limr−>0
	rcosφsinφ

nie można traktować jako nieistniejącą.

Trivial:

	x+y
Granica		nie istnieje...
	xy

1) y = −x:

	x−x		0
		=		→ 0
	x*x		x2

2) y = x:

	x+x		2x		2
		=		→		→ ∞
	x*x		x2		x

Vizer: No właśnie, czy to nie oznacza, więc że wejściowa granica nie istnieje?

Trivial: Nie. Rozważ np. jednowymiarową granicę

	1
limx→∞ sinx*
	sinx

	1
To, że nie istnieją granice sinx,		nie oznacza że nie istnieje granica
	sinx

	1
sinx*		.
	sinx

xxx: Czyli podsumowujac jak licze granice iterowane i wyjda mi dwie rozne liczby to zawsze musze jeszcze liczyc ta granice glowna (np, przez wspolrzedne biegunowe)? czy nie musze jej liczyc?

Trivial: Jeżeli granice iterowane wychodzą różne, to granica nie istnieje. Ogólniej, granica musi być taka sama dla dowolnej zależności między zmiennymi x,y takimi że (x,y) → (0,0). Np. można wybrać zależność y = −x albo y = x albo y = x² ... Byle obie zmienne dążyły do 0.

xxx: to dlaczego w tym przypadku b granica istniala a granice iterowane byly rozne od siebie?

xxx:

Vizer: A jak wyliczyłeś, że są różne od siebie, bo z moich rachunków wynika, ze one nie istnieją, co nie jest równoznaczne z nieistnieniem granicy.