zadanie z wielomianami
Help : Przedstaw wielomian W(x)= x4 − 2x3 − 3x2 + 4x − 1 w postaci dwóch wielomianów stopnia
drugiego o wspołczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach sa
równe jeden.
19 wrz 16:49
nalepek:
W(x)=x4−2x3−3x2+4x−1
(x2+bx+c)(x2+bx+c)=x4−2x3−3x2+4x−1
x4+2bx3+x2(2c+b2)+2bcx+c2=x4−2x3−3x2+4x−1
przyrównuje po obu stronach:
2b=−2
b=−1
2bc=4
−2c=4
c=−2
W(x)=(x2−x−2)(x2−x−2)
19 wrz 17:43
Eta:
Witam
Oj
nalepek .... niestety , ale muszę poprawić Twoje rozwiązanie ( jest błędne
!
zobacz:
( x
2 −x −2)( x
2 −x −2) = ( x
2 −x −2)
2 = x
4 −2x
3 −3x
2 + 4x +4
co zresztą widać już przy wyrazie wolnym
( −2)(−2) = +4 ....i
klapa ... źle
zatem poprawiam:
sprawdzamy czy przypadkiem podzielniki wyrazu wolnego są pierwiastkami W(x)
to byłoby po problemie ( mielibyśmy ładny rozkład)
W( 1) = 1 −2 −3 +4 −1 ≠0 −−− odpada
W( −1) ... też ≠0 ... odpada , więc nie udało się
pozostaje skorzystać ze wzoru:
a
2 −b
2 = ( a −b)(a+b) ( bo to jest rozkład na dwa czynniki
więc może tak :
x
4 −2x
3 −3x
2 +4x −1= x
4 −2x
3+x
2 −4x
2 +4x −1= ( x
4 −2x
3 +x
2) −( 4x
2 −4x +1)=
= ( x
2 −x)
2 − ( 2x −1)
2 .= ..... znów ze wzoru a
2 −b
2
zatem: ( x
2 −x +2x −1)( x
2 −x −2x +1)= ( x
2 +x −1)( x
2 −3x +1)
i to jest to
bo bo wymnożeniu otrzymamy W(x)
czyli odp: W(x) = ( x
2 +x −1)( x
2 −3x +1)
obydwa stopnia drugiego i współczynniki są całkowite>
Pozdrawiam
nalepek i doceniam szczere chęci
no cóż ,czasami nie wyjdzie, tak jak by się chciało ( zdarza się każdemu
20 wrz 00:47
AS: Ponieważ wyraz wolny wyniku wynosi −1 wyrazy wolne wielomanów
poszukiwanych mogą wynosić +1 i −1 bo (+1)*(−1) = −1
Szukane wielomiany mogą mieć postać: x2 +a*x +1 i x2 + b*x −1
(x2 + a*x + 1)*(x2 + b*x − 1) = x4 − 2*x3 − 3*x2 + 4*x − 1
Po wymnożeniu lewej strony otrzymamy
x4 + (a + b)*x3 + a*b*x2 + (b − a)*x − 1 = x4 − 2*x3 − 3*x2 + 4*x − 1
Porównując współczynniki przy odpowiednich niewiadomych
otrzymamy układ równań
a + b = −2
a*b = −3
b − a = 4
Rozwiązanie tego układu: a = −3 , b = 1
Szukane wielomiany: x2 − 3*x + 1 i x2 + x − 1
Druga kombinacja tj. (x2 + a*x − 1)*(x2 + b*x + 1)
daje taki sam wynik tylko w odwrotnej kolejności.
20 wrz 08:55
Eta:
21 wrz 01:14