Oblicz Długość łuku Prosze wszystkich miłych Matematyków o Pomoc! ;) Magda_UW: x(t)=t−sint y(t)=1−cost 0<=t<=2pi

Magda_UW: korzystajac z całki

Mila: x(t)=t−sin(t) y(t)=1−cos(t) 0≤t≤2π obliczamy pochodne:

dx
	=1−cos(t)
dt

dy
	=sin(t)
dt

L=₀∫^2π √(1−cos(t))²+sin²(t)dt= =₀∫^2π √1−2cos(t)+cos²(t)+sin²(t) dt=₀∫^2π √2−2cos(t) dt= =√2 ₀∫^2π√1−cos(t) dt= [ korzystam z wzoru: cos(2x)=cos²x−sin²x=1−2sin²x⇔

	t
(1−cos(t))=2sin2		]
	2

	t		t
√2*0∫2π√1−cos(t) dt= √2*0∫2π√2sin2		dt= 2*0∫2π|sin		| dt=
	2		2

	t
=2*0∫2πsin		dt=
	2

	t
(sin		≥0 dla t∊<0,2π>) czerwony wykres
	2

	t
=[2*(−2cos		}]0 2π=−4cos(π)+4cos0=8
	2