Całka wymierna/niewymierna - sprawdzenie odpowiedzi Calkolog: Witam! Potrzebuję, aby sprawdzono moje obliczenia pod kątem ich poprawności: 1) całka wymierna: integral ((x−2)/(x²−8x+18)) dx mój wynik: 1/2 ln |x²−8x+18| + (2/sqrt 2) arctg ((x−4)/sqrt 2) + C 2) całka niewymierna: integral (sqrt (−x²+2x+9)) dx mój wynik: −1/2 (x−1)² + (sqrt 10)x + C W przypadku błędu proszę o rozpisanie przykładu z małym wytłumaczeniem, jeśli można Z góry dzięki

wredulus_pospolitus: wrzuć do wolframalpha i sprawdź swoje wyniki lub prościej −−− policz pochodną z tego co wyliczone zostało i sprawdź czy wyjdzie funkcja podcałkowa

Calkolog: prawie za każdym razem wynik trochę różni się na wolframie od moich obliczeń, a koniec końców, mój wynik okazuje się poprawny, przez to nie mam zaufania do WA

asdf: x² − 8x + 18 = x² − 8x + 16 + 2 = (x−4)² + 2

	x−2
∫		dx = | t = x−4 ⇒ x = t + 4 |
	(x−4)2 + 2

	t+2		t dt		dt
∫		dt = ∫		+ 2∫		=
	t2+2		t2+2		t2+2

1		1		t
	ln(t2+2) + 2*		*arctg		+C, t = x−4
2		√2		√2

Wolframowi radze ufać, jak nie jesteś pewny/a wyniku to wpisz jako tożsamość, wyjdzie albo true albo false, np. x²−4 = (x−2)(x+2), wyjdzie true, tak samo przy całkach

Calkolog: Rozumiem, że mój wynik do pierwszej całki jest poprawny, co z drugim?

Mila: Pierwsza dobrze, druga źle. 2) ∫√(−x²+2x+9)dx=∫√10−(x−1)²dx=∫√10−t²dt=∫√10−t²dt=J₁ [x−1=t, , dx=dt]

	a2		x		x
J1 obliczamy z wzoru:∫√a2−x2dx=		arcsin		+		√a2−x2
	2		|a|		2

	10		t		t
∫√10−t2dt=		arcsin		+		√10−t2=
	2		√10		2

	x−1		x−1
=5arcsin		+		√10−(x−1)2
	√10		2

Calkolog: Wszystko byłoby Ok, gdyby nie fakt, że w całce brak jest dx / (sqrt (−x2+2x+9)); jest samo (sqrt (−x2+2x+9)) dx, stąd też wynikało moje pytanie.

Mila: Czyli taka całka?

	dx
∫
	√−x2+2x+9

Calkolog: Nie, ta całka to (sqrt (−x2+2x+9)) dx, żadnego ułamka tutaj nie ma, a żeby skorzystać ze wzoru na arcsin trzeba byłoby mieć takowy ułamego, którego licznik stanowi samo dx bądź jakąś stałą * dx.

Mila: Wszystko jest w porządku, skorzystałam z gotowego wzoru, a tam jest dobrze policzone, to dość długie wyprowadzenie, korzysta się z przekształcenia:

	10−t2
∫√10−t2dt=		dt=
	√10−t2

	1		t
=10∫		dt−∫t*		dt=
	√10−t2		√10−t2

możesz wyprowadzić do końca

Calkolog: ok, wszystko się zgadza, troszeczkę po bandzie poszedłem, stąd mój wynik