Układ równań pierwiastkowych. teofrast: Układ równań pierwiastkowych. Niech m,n,p będą dodatnimi liczbami, takimi że √m + √n + √p = ⁵₂√3. Dowieść, że układ równań √x−m + √y−m = 5 √y−n + √z−n = 5 √z−p + √x−p = 5 posiada jedno i tylko jedno rozwiązanie.

teofrast: moje zadanie zginęło w natłoku innych...

pigor: ..., jeśli chodzi o mnie, to nic mądrego nie przychodzi mi do głowy i tyle, niestety . ...

teofrast: Uprzejmie proszę o MERYTORYCZNE posty...

teofrast: Talenty matematyczne poszły spać !?

Bogdan: Szkic rozwiązania (proszę teofrast o opinię o przedstawionym rozwiązaniu). Po określeniu założeń i po kilku przekształceniach układu równań (w tym obustronne podnoszenie równań do kwadratu i sumowanie równań, dużo pisania) można otrzymać zależność: x = y = z

	25		25
√x − m + √x − m = 5 ⇒ x − m =		⇒ m = x −		⇒ √m = √x − 25/4
	4		4

	25		25
√x − n + √x − n = 5 ⇒ x − n =		⇒ n = x −		⇒ √n = √x − 25/4
	4		4

	25		25
√x − p + √x − p = 5 ⇒ x − p =		⇒ p = x −		⇒ √p = √x − 25/4
	4		4

	5		5
√m + √n + √p =		√3 ⇒ 3*√x − 25/4 =		√3
	2		2

Stąd można obliczyć wartość x oraz m (x = y = z oraz m = n = p) Spróbuję znaleźć bardziej eleganckie i przekonywujące rozwiązanie

teofrast: Witaj <Bogdan >, Bardzo dziękuję za zainteresowanie niniejszym zadaniem.Była to miła niespodzianka, bo, prawdę mówiąc, nie liczyłem już na jakikolwiek odzew ze strony uczestników forum ( dlatego też wczoraj tam nie zajrzałem...). Brawo! Chętnie bym obejrzał kroki pośrednie: mnie, niestety, się nie udało dojść do konkluzji x = y = z. Jeśli oczywiście masz tyle determinacji, żeby je tu zamieścić. Co do innego niż « brut force » sposobu rozwiązania, ja też takiego poszukiwałem. Próbowałem np. przez oszacowania jakimiś nierównościami, ale nic z tego nie wyszło... Pozdrawiam i czekam na odpowiedź. < teofrast >

aniabb: a pro po brutalnej siły chyba są jeszcze inne rozwiązania http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%7Bsqrt%28x-m%29%2Bsqrt%28y-m%29%3D5%2C+sqrt%28y-n%29%2Bsqrt%28z-n%29%3D5%2C+sqrt%28z-p%29%2Bsqrt%28x-p%29%3D5%2C+sqrt%28m%29%2Bsqrt%28n%29%2Bsqrt%28p%29%3Dsqrt%2875%2F4%29%2C+p%3D4%2C+n%3D4%7D++for+x%2Cy%2Cz http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%7Bsqrt%28x-m%29%2Bsqrt%28y-m%29%3D5%2C+sqrt%28y-n%29%2Bsqrt%28z-n%29%3D5%2C+sqrt%28z-p%29%2Bsqrt%28x-p%29%3D5%2C+sqrt%28m%29%2Bsqrt%28n%29%2Bsqrt%28p%29%3Dsqrt%2875%2F4%29%2C+p%3D3%2C+n%3D4%7D++for+x%2Cy%2Cz http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%7Bsqrt%28x-m%29%2Bsqrt%28y-m%29%3D5%2C+sqrt%28y-n%29%2Bsqrt%28z-n%29%3D5%2C+sqrt%28z-p%29%2Bsqrt%28x-p%29%3D5%2C+sqrt%28m%29%2Bsqrt%28n%29%2Bsqrt%28p%29%3Dsqrt%2875%2F4%29%2C+p%3D3%2C+n%3D2%7D++for+x%2Cy%2Cz

teofrast: Oczywiście racja. Co byśmy zrobili bez naszego drogiego Wolframa... Jak powiedziałem − mnie się nie udało dojść do konstatacji < Bogdana >, że z warunków zadania wynika równość x = y = z... W sformułowaniu zadania mowa jest o trzech parametrach m, n, p, które − jakkolwiek by się zmieniały ( byleby się sumowały do ⁵₂√3 ) to w rezultacie otrzymamy li−tylko JEDNO rozwiązanie na x, y, z. I tu − jak mi się wydaje − nie chodzi o eksplicytację tego rozwiązania, tylko wykazanie owegoż faktu. Gdyby przekształcenia Bogdana okazałyby się poprawne ( a najprawdopodobniej nie są ), to √m + √n + √p mogłyby się sumować do dowolnej liczby, a nie do czegoś tak "podejrzanego", jak ⁵₂√3...

teofrast: O ile się nie pomyliłem, to po przekształceniach i eliminacji niewiadomych x i z układ przyjmuje formę uwikłanego równania z jedną niewiadomą: f ( y, n ) = f ( f( y, m ), p ) gdzie f ( t, k ) = ( 5 − √ t − k )² + k

teofrast: ?

aniabb: skoro są inne rozwiązania to nie może być tylko x=y=z

teofrast: Zgadza się. Chodzi o to, że dla każdej USTALONEJ trójki parametrów otrzymujemy JEDNO tylko rozwiązanie a nie dwa,lub więcej, jak to ma miejsce czesto w równaniach pierwiastkowych. Za każdym razem inne, dla odmiennych trójek (m, n, p). Należy to właśnie pokazać.

teofrast: Oczywiście, właśnie pod wskazanym warunkiem : √m + √n + √p = ⁵₂√3. Gdy zaś m,n, p jest ustalone, ale √m + √n + √p ≠ ⁵₂√3 , to może pojawić się więcej rozwiązań ( ale niekoniecznie...)

teofrast: ?

aniabb: w równaniach pierwiastkowych jest zazwyczaj właśnie jedno rozwiązanie.. więcej pojawia sie przy wyższych potęgach