Liczenie objętości Święty: Mam pytanie odnośnie całek podwójnych, a dokładnie liczenia objętości przy ich pomocy. Przypuśćmy, że mamy paraboloidę: x²+y²−z=0 i walec: x²+y²=4 , z≥0 We współrzędnych biegunowych obszar całkowania będzie: 0≤r≤2 0≤φ≤2π A jak wyznaczyć do tego całkę? To będzie: ∬(4−x²−y²) dxdy=

Święty: ?

Święty: Studenci. Matematycy! Na tym forum sami licealiści i gimnazjaliści?

Kipic: Jawol no i przede wszystkim jeszcze maturzysci

Krzysiek: objętość tej figury ograniczonej paraboloidą i walcem i płaszczyzną z=0 to ∫∫_D (x²+y²)dxdy przechodząc na współrzędne biegunowe: |J|=r ∫₀^2π∫₀²r²*|J|drdφ=8π

Święty: Dzięki za odpowiedź/ Czyli zawsze gdy określamy całkę to bierzemy to co jest równe zetowi? Dobrze rozumuję?

Krzysiek: musisz to sobie narysować, parabola ogranicza nam figurę od góry a płaszczyzna z=0 od dołu, walec zaś określa nam granice calkowania czyli powinno być ,że objętość figury to ∫∫_D((x²+y²)−0)dxdy D−rzut tej figury na płaszczyznę XY (czyli koło o promieniu 2, o środku w punkcie (0,0)

Święty: A jakie założenia napisałbyś w przypadku stożka określonego x²+y²−z²=0 i walca x²+y²=4 , z≥0? Liczę teraz dla stożka, ale wynik liczony całkami nie zgadza mi się z wynikiem ze wzoru...

Krzysiek: praktycznie to samo co wyżej tylko zamiast x² +y² w funkcji podcałkowej jest √x²+y² i nie zapomnij o jakobianie przechodząc na współrzędne biegunowe.

Święty: Ok, czyli dla powyzszego przypadku będzie D: 0≤r≤2 , 0≤φ≤2π

	2		16
∬√x2+y2dxdy=∫02∫02π(r*r)dφdr=∫02(2πr2)dr=		π(2)3=		π
	3		3

I gdzie wyżej robie błąd, bo z tradycyjnego wzoru na objetość stozka wychodzi inaczej

Krzysiek: ale przecież to nie jest objętość stożka...tylko walca o promieniu 2 i wysokości 2 obciętego przez ten stożek

Krzysiek: objętość stożka policzysz gdy będziesz miał w funkcji podcałkowej 2−√x²+y²

Święty: Aha, już rozumiem. Źle odczytywałem polecenie. Dzięki za pomoc