Zadanie momo: Bardzo prosiłbym o wyjaśnienie, bo nie rozumiem tych obliczeń:

1		P(α+1,β)		α
	∫01 xα(1−x)β−1 dx =		= ... =
P(α,β)		P(α,β)		α+β

Nie mogę wyłapać, czemu jest w liczniku α+1, a nie α, skoro P(α,β) = ∫₀¹ x^α−1(1−x)^β−1 dx

momo:

momo:

momo:

momo:

momo:

ff: bo we wzorze na P(α,β) x jest do potęgi α−1 P(α+1,β) = ∫₀¹ x^(α−1+1)(1−x)^β−1dx = ∫₀¹ x^α(1−x)^β−1dx

momo: Rozumiem, nawet sam tego by się nie domyślił. Zastanawia mnie tylko, czemu akurat plus, a nie minus, tak jak pogrubiłeś z tym plusem x do potęgi, a tam też jest minus: P(α+1,β)=∫₀¹x^(α−1+1)(1−x)^β−1dx skoro tam jest również minus to wtedy byłoby P(α−1,β)? czyli można napisać P(α+1,β) albo P(α−1,β)?

ff: nie, to są różne wartości: P(α,β) = ∫₀¹ x^α−1(1−x)^β−1 dx P(α+1,β) = ∫₀¹ x^α(1−x)^β−1 dx P(α−1,β) = ∫₀¹ x^α−2(1−x)^β−1 dx

momo: Aaaa no to już rozumiem. Wielkie dzięki za wyjaśnienie

ff: niepotrzebnie zamieniłem kolejność − pogrubienie poprawne powinno być: P(α+1,β) = ∫₀¹ x^α+1−1(1−x)^β−1 dx α jest dodatnie − nie zmienia znaku

ff: no

momo: znów mam drugi kolejny problem ze zrozumieniem, dotyczy tego samego zadania, chodzi mi o dalsze obliczenia:

P(α+1,β)		δ(α+1)δ(β)		δ(α+β)
	=		*		=
P(a,β)		δ(α+β+1)		δ(α)δ(β)

można skrócić δ(β), więc:

	δ(α+1)		δ(α+β)
=		*		, po tym
	δ(α+β+1)		δ(α)

	α
ma wyjść
	α+β

	α
Nie mam pojęcia, jakim cudem ma wyjść		.
	α+β

	δ(α)δ(β)
Podaję potrzebny wzór do tych obliczeń: P(α,β) =
	δ(α+β)

momo:

momo:

momo:

momo:

momo:

momo:

momo:

momo:

momo:

momo:

ff: tak będzie, jeżeli zachodzi własność:

δ(α+1)
	= α
δ(α)

czy tak jest?

momo: hmm, nie rozumiem, mógłbyś jakoś to rozwinąć? jeden szczegół, bo tutaj nie ma jak wstawić symbol dużej gammy, więc zastosowałem sigmę, może to jest ważne

ff: napisz mi może co to za wzory − wygląda mi na coś z prawdopodobieństwa − ale dziwnie kojarzy mi się z funkcjami beta i gamma

momo: Ok, to piszę od początku

momo: *napiszę

ff: teraz, gdy już wiemy, że δ to funkcja gamma, to : (nie widzę jak tu napisać symbol gammy) δ(α+1) = α δ(α)

δ(α+1)
	= α
δ(α)

zatem

δ(α+1)		δ(α+β+1)		δ(α+1)		δ(α+β+1)
			=
δ(α+β)		δ(α)		δ(α)		δ(α+β)

	1		1		α
= α		= α		=
	δ(α+β+1)   δ(α+β)		α+β		α+β

momo: Tak z prawdopodobieństwa, chodzi o wart. oczekiwaną.

	1
f(x) =		xα−1(1−x)β−1, gdzie:
	P(α,β)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− P(α,β) = ∫₀¹ x^α−1(1−x)^β−1 dx

	δ(p)δ(q)
P(α,β) =
	δ(p+q)

δ − duża gamma, nie sigma −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Obliczenia: ∫₀¹ xf(x)dx =

	1
=		∫01 x * xα−1(1−x)β−1 =
	P(α,β)

	1
=		∫01 xα(1−x)β−1 =
	P(α,β)

	P(α+1,β)
=		=
	P(α,β)

	δ(α+1)δ(β)		δ(α+β)
=		*		=
	δ(α+β+1)		δ(α)δ(β)

	δ(α+1)		δ(α+β)
=		*		=
	δ(α+β+1)		δ(α)

	α
=
	α+β

Tylko tyle. Dlaczego taki wynik mamy?

ff: ech − pomieszały mi się licznik z mianownikiem, jeszcze raz:

δ(α+1)		δ(α+β)
δ(α+β+1)		δ(α)

	δ(α+1)		δ(α+β)
=
	δ(α)		δ(α+β+1)

	δ(α+1)		1
=
	δ(α)		δ(α+β+1)   δ(α+β)

	1		α
= α		=
	α+β		α+β

momo: Ehh, już napisałeś Ale dlaczego zamieniono miejsca w mianowniku? Można tak?

ff: z własności funkcji gamma: δ(α+1) = α δ(α)

momo: Aaa rozumiem, dlaczego zamieniliśmy, tylko mam pytanie, skąd wiedziałeś, że:

δ(α+1)
	= α?
δ(α)

momo: Aaa rozumiem, przed chwilą sprawdziłem w necie własność funkcji gamma, to z tego wynika W porządku Dziękuję za pomoc.

ff: nie ma sprawy