Pytanko momo: Całkowanie przez części u'(x) = 2ye^−2y Jak obliczyć u(x) = ... ?

momo:

momo:

ZKS: Coś taki niecierpliwy spokojnie. t = −2y ⇒ dt = −2dy

	1
∫ u'(x) =		∫ tetdt
	2

	1
∫ u'(x) =		∫ t[et]'dt
	2

	1		1
∫ u'(x) =		tet −		∫ etdt
	2		2

	1		1
u(x) =		tet −		et + C
	2		2

	1
u(x) = −ye−2y −		e−2y + C
	2

momo: Hehe jestem cierpliwy, ale tutaj temat idzie na dół i może ktoś nie zauważyć, dlatego stawiam pytajniki Hmmm.. a wynik jest taki u(x) = −e^−y2 coś tu się nie zgadza?

momo: Całkowanie przez części: | v = y u' = 2ye^−y2 | | | | v' = 1 u = −e^−y2 | | | Tak to wygląda.

ZKS: Tak wygląda od początku zadanie?

ZKS: To licz nie potrafisz zapisać nie chce mi się bębnić jeszcze raz tego samego prawie.

ZKS: Poza tym już masz wszystko do całki przez części zapisane więc w czym tkwi problem?

momo: Aa mój błąd przy przepisywaniu, trochę ciężko tutaj pisze, że łatwo o błąd. Problem jest taki, że nie mogę pojąć, czemu w u jest −e^−y2. Nie chodzi o to, że mam gotowe, a chodzi mi o zrozumienie, skąd i dlaczego?

momo: przy v to wiem, ale przy u nie

ZKS: Tutaj lepiej dać inne oznaczenie żeby się nie myliło z początkowym u(x) te u przykładowo q tak więc skoro przyjęte jest że v = y a q' = 2ye^−y2 to aby obliczyć v' liczymy pochodną po y i dostajemy v' = 1 natomiast aby policzyć q musimy scałkować wyrażenie q' = 2ye^−y2 stąd otrzymasz że q = −e^−y2.

momo: rozumiem, czyli q musimy scałkować, a możesz to pokazać zacząłem tak: ∫ 2ye^−y2 dy t=−y² ⇒ dt = 2dy

1
	∫ ye−t dt
2

a co ma być na dole i u góry tej całki? ∞?

ZKS: Jak wygląda pochodna po −y²? I skąd masz niby dostać granice całkowania skoro liczysz całkę nieoznaczoną.

momo: (−y²)' = − 2y liczę całkę oznaczoną z ∞ u góry, a na dole −∞, po czym całkujemy przez części, to jak będzie?

momo: aa dlatego będzie tak dt = −2dy ?

ZKS: Ale czemu uparcie chcesz liczyć całkę oznaczoną skoro masz policzyć tylko całkę nieoznaczoną? Skoro podstawiłeś za −y² = t i otrzymałeś że −2ydy = dt to teraz po podstawiaj to do całki swojej.

momo: Nie uparcie, wynika to z mojej niewiedzy.

	1
−		∫ ye−t2 dt
	2y

Dobrze?

momo: Błąd, poprawiam

	1
−		∫ yet2 dt
	2y

ZKS: Hmm będzie ciężko. Skoro podstawiasz za −y² = t to co wstawisz do wykładnika?

ZKS: Masz wyrażenie e^−y2 i za −y² wstawiasz t to jak wyglądać będzie Twoje wyrażenie?

momo: Aaa znów kolejny mój błąd,

	1
−		∫ yet dt
	2y

ZKS: Tak teraz te y Ci się uproszczą ale zauważ że skoro podstawiłeś za

	1
−y2 = t ⇒ −2ydy = dt to dalej dzieląc przez −2 masz ydy = −		dt i do swojej całki
	2

	1
wstawisz od razu w miejsce ydy = −		dt ale tak jak zrobiłeś też jest poprawnie.
	2

momo: A no tak, nie pomyślałem o tym

	1
−		∫et dt
	2

co mogę dalej zrobić? we wzorach jest ∫e^t dt = e^t + C, więc

	1
−		* et + C, tak?
	2

ZKS: Dokładnie tak. Teraz wracasz z podstawieniem t = −y². Tylko że zjadłeś 2 nie zauważyłem. Bo masz ∫ 2ye^−y2 więc jak będzie wyglądać Twoje rozwiązanie?

momo: A no tak, zjadłem − ∫ e^t dt = −e^t + C więc −e^−y2 + C zgadza się, dziękuję za pomoc

ZKS: Proszę.