algebra maniek: Krzysiek i inni moglibyście pomóc, jeżeli bylibyście tak łaskawi? Mając dane bazy: (które obie są w przestrzeni ℛ²) B = {[1,2]^T, [−2,1]^T} C = {[6, −8]^T, [−11,13]^T} Wyznacz macierz przejścia z C do bazy B (macierz m_CB(id) ) Wyznacz macierz odwrotną do niej, czyli która jest macierzą przejścia z B do C.

Krzysiek: szukając macierz przejścia z C do B wyznacz współczynniki a₁₁,...a₂₂ [1,2]=a₁₁[6,−8]+a₂₁[−11,13] [−2,1]=a₁₂[6,−8]+a₂₂[−11,13] szukana macierz przejścia to A=[a_ij]

maniek: ale jak to wyznaczyć? rozwiązać układ równań:

⎧	1 = 6a11 − 11a21
⎩	2 = −8a11 + 13a21

Krzysiek: tak i wektor [a₁₁,a₂₁] to pierwsza kolumna szukanej macierzy

maniek: ok, czyli:

⎧	6a11 − 11a21 = 1
⎩	−8a11 + 13a21 = 2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− daje nam x = −7/2 oraz y = −2

⎧	6a12 − 11a22 = −2
⎩	−8a12 + 13a22 = 1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− daje nam x = 3/2 oraz y = 1 i teraz tak zapisać tę macierz?:

−7/2 −2 3/2 1

Jeżeli to koniec tego pierwszego podpunktu. To mógłbyś opisać co znaczy taki zapis w nawiasach kwadratowych, oraz to "T" − do potęgi ?

Krzysiek: nawias kwadratowy tutaj oznacza wektor a T to transpozycja czyli zamiana wierszy z kolumnami [1] [1,2,3]^T=[2] [3]

maniek: ok, a jak zrobić to drugie polecenie?

maniek:

maniek:

Krzysiek: albo robisz tak jak przedtem czyli szukasz tych współczynników albo wyznaczasz macierz odwrotną

maniek:

	−7/2 −2 3/2 1
A =

	1		1 2 −3/2 −7/2
A−1 =		*
	detA

	7		7		6		1
detA = −		+ 3 = −		+		= −
	2		2		2		2

	−1/2 −1 3/4 7/4
A−1 =

dobrze?

maniek:

maniek:

maniek: może ktoś sprawdzić ?

ff: nie − wolfram: {{−7/2, −2},{3/2,1}}⁽−1)

ff:

	1
pomnożyłeś przez detA a nie
	detA

maniek:

	−2 −4 3 7
A−1 =

ff: ok

maniek: mam jeszcze podpunkt c) do tego zadania, mianowicie: Wiedząc, że K: R² → R² jest przekształceniem liniowym takim, że

	1 2 −1 1
mBB(K) =

Trzeba znaleźć m_CC(K) używając obliczeń mac. przejścia z podpunktów a) i b) oraz odpowiedniego wzoru (niestety nie wiem jakiego).

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_przekszta%C5%82cenia_liniowego#Przyk.C5.82ady popatrz pod tematem: "Mnożenie macierzy a składanie przekształceń" na podany wzór.

maniek: to może wpierw zacznę od tego jakie macierze mamy obliczone, są to: m_CB(id) oraz m_BC(id)

maniek: Tam jest wzór: T_A'^B' = B_B^B'T_A^BA_A'^A Już mniej więcej widzę jak można by to zrobić, jak zastosować ten wzór tylko mam problem z tymi oznaczeniami, co dokładnie określają? To co w indeksie dolnym, a to co w górnym? Jeżeli mam: m_BB(K) m_CC (K) = ? m_BC(id) (można tu przyjąć, że id = K ? ) m_CB(id) (to samo pytanie co wyżej?)

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_przekszta%C5%82cenia_liniowego#Endomorfizmy na ten wzór popatrz u góry źle napisałem A masz dane A=m_BB(K) Masz znaleźć macierz B, C i C⁻¹ już masz policzone.

maniek: http://upload.wikimedia.org/math/7/0/0/7004d6ccd07911949f8a9f3622bb4e1e.png O ten chodzi? I co ja mam policzone − ponieważ zapis się różni od tego z polecenia i nie rozumiem jeszcze do końca.

maniek: Nie dałoby się go jakoś skrócić? I czy mógłbyś wytłumaczyć o co chodzi z tymi indeksami dolnymi oraz górnymi ? Czym różnią się od tych ? m_BB itp..

maniek:

Krzysiek: jak dla mnie to m_BC(id) to macierz odwzorowania identycznościowego w bazach B i C m_BC(K) to macierz odwzorowania liniowego K w bazach B i C popatrz na tą stronę w wikipedii(na przykład), szukając macierzy odwzorowania liniowego musimy najpierw sprawdzić na co wektory z bazy B przechodzą(czyli wstawiamy do odwzorowania K )

maniek:

maniek: nie rozumiem dokładnie, o co tak naprawdę chodzi w tym Twoim sposobie

maniek: mógłbyś jakoś uzasadnić czym różni się to m_BC(id) od m_BC(K) ? może na jakimś przykładzie ?

Krzysiek: to przykład masz na wikipedii gdzie tam K oznacza T a wyznaczając m_BC(id) opuszczasz krok gdzie wstawiasz wektor z bazy B do wzoru odwzorowania

maniek: mógłbyś pokazać jak mam to zacząć ? bo nie wiem jeszcze o co chodzi

Krzysiek: ale nie wiem co zacząć? bo co do poprzedniego zadania to już masz wszystko dane i wyliczone... a jeżeli o wyjaśnienie to aby znaleźć m_BC(id) bierzesz wektor z bazy C przykładowo [6,−8] i szukasz współrzędnych tego wektora w bazie B czyli [6,−8]=a[1,2]+b[−2,1] a szukając m_BC(K) gdzie np. K(x,y)=(x+y,x−y) to znów bierzesz wektor z bazy C [6,−8] i liczysz K(6,−8)=(−2,14) i teraz szukasz współrzędnych tego wektora (−2,14) w bazie B

maniek: no ok, ale jak obliczyć ten podpunkt c) ?

maniek: mógłbyś napisać jak zacząć ? bo nie wiem o co chodzi w tym wzorze, co jest dokładnie potrzebne i jak to zacząć liczyć

maniek: :(

maniek:

maniek:

maniek: pomożesz?

Krzysiek: m_CC(K)=m_BC(id)*m_BB(K)*m_CB(id)

	1 2 −1 1
mBB(K)=

	−2 −4 3 7
mBC(id)=

	−7/2 −2 3/2 1
mCB(id)=

(pod warunkiem że te macierze są dobrze policzone,nie sprawdzałem) no i mnożysz 3 macierze.

maniek: tylko czy można mnożyć przez ułamki?

4 10 5 11		−7/2 −2 3/2 1
	*		= ...

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BCenie_macierzy