Nierówności z geometrii płaskiej. Kj: Dzień dobry Mam zadanie z serii trudniejszych a właściwie dwa zadania: a) Udowodnij że dla dowolnego trójkąta zachodzi nierówność sin^α₂ ≤ ^a_2√bc gdzie alfa to kąt leżący na przeciwko boku a. b) Udowodnij że dla dowolnego trójkąta zachodzi nierówność ^r_R ≤ ¹₂ gdzie r to promień okręgu wpisanego a R to promień okręgu opisanego na tym trójkącie. a) dałem rade w sam zrobić i wiem że tożsamość z a) trzeba wykorzystać w b) tylko nie mam pojęcia jak. Mam nadzieję że dacie rade coś wykombinować

Magdalena: o hoo hooo

PW: Zadanie b) znam w brzmieniu: (...)

	r		1
		≤		.
	R		√2

Rozwiązanie polega na wykorzystaniu faktu, że odległość między środkami tych okręgów jest nieujemna.

PW: Aj, źle spojrzałem, w brzmieniu z pierwiastkiem dotyczy czworokąta (oczywiście takiego, dla którego okręgi wpisany i opisany istnieją). Może to być następne "bojowe zadanie".

Kj: Dałem rade samemu to zrobić. Całego nie przepisze bo było tego sporo ale w skrócie to opisze: 1) Trzeba udowodnić nierówność z punktu a) dla α, β i γ. 2) Lewe strony i prawe strony tych 3 nierówności pomnożyć przez siebie, otrzymamy: sin^α₂*sin^β₂*sin^γ₂≤¹₈ 3) Wielokrotnie wykorzystując zależności w trójkącie typu np. 2R=^a_sinα przekształcać nierówność b), tak długo aż otrzymamy tylko funkcje trygonometryczne. 4) Z otrzymanej nierówność postaci 2sinα*sinβ*sinγ/(sinα + sinβ + sinγ) ≤¹₂ otrzymujemy bardzo prosto nierówność z punktu 2), która zachodzi dla każdego trójkąta więc teza − ^r_R≤¹₂ jest prawdziwa, co należało dowieść. Mam nadzieję że kiedyś komuś się to przyda

gf:

	licznik
używaj U		a nie u licznikmianownik
	mianownik

DZIĘKI

PW: "Łatwiejszy" dowód znalazłem w 'Geometry Revisited" , H. Coxeter, S. Greitzer, Toronto−New Yort 1967 (wydanie rosyjskie z 1978 r.). Z twierdzenia o potędze punktu względem okręgu wynika, że |AP|•|PA'|=R²−d², gdzie d oznacza odległość punktu P od środka okręgu, zaś A i A' są punktami, w których cięciwa przechodząca przez P przecina okrąg. Na tej podstawie − jak piszą autorzy − łatwo przeprowadzić dowód twierdzenia sformułowanego przez Eulera: Odległość między środkami okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie wyraża się wzorem d²=R²−2Rr. To "łatwo" polega na wykonaniu sprytnego rysunku i paru oczywistych (jak się czyta) przekształceń. Nie dam rady narysować tego rysunku, ale dowód budzi szacunek (nazwiska wielkie, nic dziwnego). Jak sie to już wie, to zadanie ma oczywiste rozwiązanie: d≥0, a więc R²−2Rr≥0, czyli R≥2r.