Całka - pytanie lolak: Zastanawiam się, dlaczego wynik wynosi tak samo:

	u2
∫ e−		du = √2π
	2

	u2
∫ u2 e−		du = √2π
	2

Wytłumaczy mi ktoś?

lolak: całka − u góry ∞, a na dole −∞

lolak:

lolak:

lolak:

lolak:

.: A potrafisz wyliczyć wartość którejkolwiek z tych całek?

lolak: Nie

Trivial: Zacznijmy od całki, którą rozwiążemy przez części.

	u = x v' = xe−x2/2 u' = 1 v = −e−x2/2
∫−∞∞ x2e−x2/2dx =		=

= [xe^−x2/2]_−∞^∞ + ∫_−∞^∞e^−x2/2dx. Granice lim_x→−∞ xe^−x2/2 = 0, lim_x→+∞ xe^−x2/2 = 0 zatem ∫_−∞^∞ x²e^−x2/2dx = ∫_−∞^∞e^−x2/2dx. Wystarczy zatem, że policzymy całkę ∫_−∞^∞e^−x2/2dx, a drugą dostaniemy 'gratis'. Najpierw zauważamy, że ∫_−∞^∞e^−x2/2dx = 2*∫₀^∞e^−x2/2dx. Przyjmijmy J = ∫₀^∞e^−x2/2dx Mamy J² = ∫₀^∞e^−x2/2dx * ∫₀^∞e^−x2/2dx Dokonując zmiany oznaczeń w prawej całce otrzymujemy J² = ∫₀^∞e^−x2/2dx * ∫₀^∞e^−y2/2dy Co jest równoznaczne z całką podwójną

	⎧	0 ≤ x ≤ ∞
J2 = ∬D e−(x2+y2)/2 dxdy, D:	⎨
	⎩	0 ≤ y ≤ ∞

Dokonujemy przejścia na współrzędne biegunowe

	⎧	0 ≤ r ≤ ∞
J2 = ∬G e−r2/2 rdrdφ, G:	⎨
	⎩	0 ≤ φ ≤ π/2

Skąd mamy:

	π		π		π
J2 =		∫0∞ re−r2/2dr =		[−er2/2]0∞ =
	2		2		2

Ponieważ e^−x2/2 > 0 dla każdego x, mamy:

	√2π
J = ∫0∞e−x2/2dx =
	2

Czyli ∫_−∞^∞e^−x2/2dx = √2π.

lolak: Dziękuje bardzo za szczegółowe rozwiązanie Teraz jest dla mnie zrozumiałe! O to chodzi! Wielkie dzięki