Całka sasza: Oblicz:

1		(x−a2)
	∫ x * e−		dx
δ √2π		2δ2

Całka u góry ∞, a na dole −∞ Powinno wyjść a. Będę bardzo wdzięczny za pomoc.

Krzysiek: chyba inaczej ta całka powinna wyglądać... nie czasem (x−a)² ?

	(x−a)2
zacznij od podstawienia: t=−
	2δ2

sasza: A tak, mój błąd przy przepisywaniu, ma być (x−a)².

1
	∫ x * e−t dt
δ√2π

Tak?

sasza:

Krzysiek: ...no nie po zamianie zmiennej nie może być już żadnego 'x' a po drugie ile wynosi dx? i czemu jest e^−t a nie e^t ?

sasza: Wybacz, że tak kiepsko radzę, właśnie muszę zacząć od nowa powtórzyć te całki, bo już trochę pozapominałem. A studiuję informatykę, nie matematykę. Zależy mi na zrozumieniu tego zadania. No wiem, o co ci chodzi, ale nie potrafię tego zrobić. Nie wiem, jak to zrobić z x. Bym zrobił tak: t * 2δ² = −(x−a)² t * 2δ² = −(x²−2ax + a²) t * 2δ² = −x² + 2ax − a² −x² = t * 2δ² − 2ax + a² x² = −t * 2δ² + 2ax − a² x = √−t * 2δ² + 2ax − a² no i potem co dalej? a tak w ogóle to wygląda bez sensu a co dx długo się zastanawiałem, jak to w ogóle się to oblicza? mógłbyś mi napisać?

sasza: Jak widzisz, spróbowałem sam spróbować, gdyż zależy mi na tym. A myślę, że po tym już lepiej będę obliczał całki.

sasza:

sasza:

Krzysiek:

	−(x−a)2
t=
	2δ2

	−2(x−a)		−(x−a)
dt=		dx=		dx
	2δ2		δ2

−δ²dt=(x−a)dx

	(x−a)2		(x−a)2		(x−a)2
∫xe−		dx=∫e−		(x−a)dx+a∫e−		dx
	2δ2		2δ2		2δ2

	(x−a)2
∫e−		(x−a)dx=∫et −δ2dt=−δ2et+C
	2δ2

a drugą całkę policzysz korzystając z tego,że: ∫_−∞^∞ e^−u2du=√π

sasza: Dziękuję bardzo długo, długo myślałem nad tymi obliczeniami, tylko czemu nie ma w tych

	1
obliczeniach		. Jakby znikło, tylko jakim cudem?
	δ√2π

Jeśli o obliczenie drugiej całki, to nie powinno być tak:

	√π
∫e−u2 du =		, bo gdzieś to widziałem w internecie
	2

A co z pierwszą całką? Wynosi po prostu −δ²e^t?

sasza:

Krzysiek: 1/δ√2π nie znikło po prostu nie pisałem tego oczywiście musisz potem przemnożyć odpowiednie całki przez tą stałą po drugie ∫₀^∞e^−u2du=√π/2 po trzecie wracasz do podstawienia i liczysz całkę oznaczoną

sasza: Rozumiem, no to robimy dalej:

	(x−a)2
podstawienie? trzeba coś zrobić z e−		dx?
	2δ2

	(x−a)
u = −
	2δ

Wtedy:

	(x−a)2
a ∫ e−		dx = a ∫ eu2 du = a √π
	2δ2

Hmmm...? Dalej chyba już przemnożyć

	1
a √π *
	δ√2π

Nic z tego, no nie już się denerwuję, za trudne to jest. Chce to umieć, a mi nie wychodzi.

Krzysiek: no niestety źle.. źle wykonane podstawienie..

	x−a
spróbuj tak u=
	√2δ

sasza: A noo wtedy by się zgadzało a ∫ e^−u2 du

	x−a		(x−a)2
bo u2 = (		)2 co wychodzi
	√2δ		2δ2

Rozumiem, no ale i tak dalej jest: a ∫ e^−u2 du = a √π

sasza:

Krzysiek: źle..zapomniałeś jak się liczy całki zmieniając zmienne dx=√2δdu wtedy ∫e^{−(x−a)2/(2δ2)}=√2δ∫e^−u2du

sasza: A no tak zapomniałem. No czyli

	1
a * √2δ * √π *		= a * δ
	√2π

nie powinno być tej sigmy, coś tu jest źle

Krzysiek: i jej nie ma przed główną całką stała to 1/(δ√2π)

sasza: A rzeczywiście, przepraszam. Jeszcze raz dziękuję za pomoc.

sasza: A jeszcze jedno, dlaczego −δ²e^t nie była w ogóle brana pod uwagę?

sasza: Owszem, chodzi mi o pierwszą całkę

sasza:

Krzysiek: jak nie była brana pod uwagę? po prostu nie skończyłeś jej liczyć..

sasza: Już nie rozumiem, chyba już w tym się pogubiłem. Wróćmy wstecz, tam gdzie dałeś obliczenia.

	(x−a)2		(x−a)2
∫e−		(x−a)dx + a∫e−		dx =
	2δ2		2δ2

= −δ²e^t + √2δ a∫e^−u2du = = −δ²e^t + √2δ a * √π

	1
No i nie zapominamy o
	δ√2π

	1		1
= =		* (−δ2et) +		* √2δ a * √π
	δ√2π		δ√2π

No i?

sasza:

	1
=		* (−δ2et) + a
	δ√2π

Krzysiek: ale masz jeszcze obliczyć całkę oznaczoną! i wrócić do zmiennej 'x' (możesz też zostać przy 't' ale wtedy granice całkowania się zmienią)

sasza: Którą całkę oznaczoną? Myślę, że najlepiej będzie napisać, bo pewnie co innego policzę.

sasza:

Krzysiek: −δ²e^t+C −tyle wyszło licząc całkę nieoznaczoną wracając do podstawienia −δ²e^{−(x−a)2/(2δ2)}|_−∞^∞=0

sasza: Nie wiedziałem, że tak się robi, no teraz już rozumiem. Dzięki