Bazy i podprzestrzenie pontini: Proszę o pomoc w rozwiązaniu. 1.Wyznaczyć bazę podprzestrzeni w przestrzeni R³ V= {(x,y,z) ∊ R³ : 2x – 3y + 7z = 0} 2.Proszę sprawdzić czy zbiór:{(x,y,z,t) ∊ R⁴ : −x + y = 2z −5t } jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R⁴ ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczby rzeczywistej przez wektor.

Krzysiek: 1. niech y=s,z=t s,t∊R (parametry) wtedy x=3/2s−7/2t (x,y,z)=(3/2s−7/2t,s,t)=s(3/2,1,0)+t(−7/2,0,1) Baza podprzestrzeni V to B={(3/2,1,0),(−7/2,0,1)} 2.u=(x₁,y₁,z₁,t₁) v=(x₂,y₂,z₂,t₂) sprawdź czy wektor u+v należy do tego zbioru i czy αu (α∊R) należy do tego zbioru

dawid: 2. niech −x + y = 2z − 5t ⇔ 5t − x − 2z + y = 0 Tak jak napisał Krzysiek, musimy sprawdzić: a) u, v ∊ V ⇒ (u + v) ∊ V b) α ∊ R, x∊V ⇒ ax ∊ V u = (x₁, y₁, z₁, t₁) v = (x₂, y₂, z₂, t₂) * 5t₁ − x₁ − 2z₁ + y₁ = 0 ** 5t₂ − x₂ − 2z₂ + y₂ = 0 u + v = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂, t₁ + t₂) − sprawdzamy tę własność odpowiednio podst: 5(t₁ + t₂) − (x₁ + x₂) − 2(z₁ + z₂) + (y₁ + y₂) = (5t₁ − x₁ − 2z₁ + y₁) + (5t₂ − x₂ − 2z₂ + y₂) = 0 + 0 = 0 Zatem dodawanie zachowuje działanie, analogicznie sprawdzasz dla αx

pontini: Ok dzięki wielkie tak właśnie myślałem i pierwsze zrobiłem bardzo podobnie. 2x – 3y + 7z = 0 => x = 1,5y – 3,5z [x,y,z] = [1,5y −3,5z;y;z] = y (1,5;1;0) + z (−3,5;0;1) dalej nie wiedziałem co z tym zrobic Co do drugiego zrobiłem łącząc oby dwie własności czyli α₁u + α₂v = W i przez to sie chyba zamotałem, a nie wpadłem na to, że można osobno to sprawdzić Jeszcze raz dzięki wielkie