obliczyć objętość - całka podwójna ad: Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: x²+y²+1=z; z=√5−x²−y²

ad: pierwsza powierzchnia to paraboloida eliptyczna, druga to sfera, wyznaczyłem obszar po jakim całkuję: D: 0<φ<2π; 0<r<√5, wg mojego rozumowania powinienem całkować po ∬(x²+y²+1−√5−x²−y²)dxdy, jednakże nie mogę się za nic doliczyć do prawidłowego wyniku... Nie wiem gdzie siedzi błąd, pomóżcie!

ad: wynik z odpowiedzi: ^10√5₃π−¹⁶₃π

Krzysiek: r∊[0,1] po drugie całka powinna byc taka: ∫∫_D(√5−r²−(r²+1))|J|drdφ

Krzysiek: wolfram trochę inny wynik podaje: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_%280%29%5E%281%29+%28%28sqrt%285-r%5E2%29-r%5E2-1%29r%29dr (należy przemnożyć jeszcze przez 2π)

ad: no tak, po przejsciu na wspolrzedne biegunowe liczyłem wlasnie z tej całki. Mozesz wyjasnic dlaczego r∊[0;1]? Przeciez po podniesieniu naszego wyrazenia z=√5−x²−y² do kwadratu, otrzymujemy z²=5−x²−y², po przeniesieniu zmiennych na jedna strone mamy x²+y²+z²=5, gdzie zgodnie ze wzorem na sfere R²=5 →R=√5?

Krzysiek: zrzutuj tą bryłę na płaszczyznę OXY (lub porównaj dwa równania ze sobą tzn: √5−x²−y²=x²+y²+1 ) http://www.wolframalpha.com/input/?t=crmtb01&f=ob&i=z%3Dr%5E2%2B1%2C%20z%3Dsqrt(5-r%5E2) wykres tej bryły patrząc z boku.(obracając figurę wzdłuż osi 'z' otrzymasz szukaną bryłę)

ad: dzięki wielkie! a jak najlatwiej dojsc do tego ze ten promien jest z przedzialu [0;1]? Na kolokwium z wolframa raczej nie skorzystam, natomiast przyrównując oba równania otrzymuję x⁴+2x²y²+3x²+3y²−4=0

ad: oczywiscie tam jeszcze powinno byc y⁴

Krzysiek: i tak licząc tą całkę zapewne przejdziesz na współrzędne biegunowe więc od razu lepiej jest policzyć: √5−r²=r²+1 r⁴+3r²−4=0 (+odpowiednie założenie )