prawdopodobieństwo :) mania17: W loterii klasowej było 35 losów: 12 wygrywających, 10 umożliwiających powtórne losowanie, pozostałe były puste. Janek losował pierwszy i wyciągnął los umożliwiający powtórne losowanie. Za drugim razem wyciągnął los pusty. Krzysiek losuje jako drugi. Jaka jest szansa,że Krzysiek wylosuje los wygrywający?

PW: Losowanie Krzyśka to losowanie ze zbioru 33−elementowego, w którym jest: 12 wygrywających, 9 uprawniających do dalszego losowania (bo Janek już jeden wyciągnął) 12 pustych (bo początkowo było 13 pustych, a Janek jeden wyciągnął). |Ω| = 33, spełnione są założenia twierdzenia zwanego klasyczną definicją prawdopodobieństwa (wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo prawdopodobne). Zdarzeniu "Krzysiek wyciągnął los wygrywający" sprzyja 12 zdarzeń elementarnych, więc prawdopodobieństwo P(A) obliczamy zgodnie ze wzorem

	12		4
P(A) =		=
	33		11

pigor: ... , taka szansa w tej loterii nie za duża , dlatego widziałbym inną ścieżkę Krzyska do ... wygranej :

	10		13		12		2*13*2		52
P(WK)=		*		*		=		=		≈ 0,04.
	35		34		33		7*17*11		1309

PW: A, rozumiem, pomyślałem w pierwszym odruchu tylko o szansie Krzyśka w pojedynczym ciągnięciu (raz i koniec), a przecież ma też możliwość wyciągnięcia losów uprawniających do dalszej gry. Przy takim rozumieniu zadanie staje się dość skomplikowane. Jednak szansa musi być większa niż

	4
		. Na pewno nie będzie taka mała. Oprócz tego co policzyłem dochodzą jeszcze inne
	11

możliwości. Zastanówmy się − jaka w tym zadaniu jest przestrzeń Ω. Jest to doświadczenie wieloetapowe. Niech W₁ oznacza zdarzenie "Krzysiek wylosował los wygrywający za pierwszym razem" (to które

	12
ma prawdopodobieństwo		),
	11

U₁ − "Krzysiek wylosował za pierwszym razem los uprawniający do dalszego losowania" P₁ − "Krzysiek wylosował za pierwszym razem los pusty"

	9		12
P(U1)=		, P(P1)=
	33		33

Ω=W₁∪U₁∪P₁, przy czym zdarzenia te są rozłączne. Niech W_K oznacza zdarzenie "Krzysiek wyciągnął los wygrywający" (w ogóle w całej zabawie}. Można powiedzieć, że P(W_K|W₁)=1, P(W_K|P₁)=0, P(W_K|U₁)=p₂ Na mocy twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym

	9
P(WK) = P(WK|W1) • 1 + P(WK|P1)•0 +p2•		=
	33

	12		9
=		+		p2
	33		33

Znalezienie prawdopodobieństwa p₂ polega na tym samym rozumowaniu z mniejszą liczbą losów uprawniających do dalszego losowania − na 32 losy będzie ich 8.

	12		8
p2=		+		•p3
	32		32

i dalej:

	12		7
p3=		+		•p4
	31		31

aż do

	12		1
p9=		+		•p10,
	25		25

przy czym p₁₀ znamy − jest to prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu wygrywającego, gdy w poprzednich 9 losowaniach szczęściarz Krzysiek cały czas wyciągał losy uprawniające do dalszych losowań, a więc mamy 24 losy, w tym 12 wygrywających.

	1
p10 =
	2

Licząc "nazad" mamy:

	12		1		1		1		12		2		1		1
p9=		+		•		=		, p8=		+		•		=		,
	25		25		2		2		26		26		2		2

	12		3		1		1		12		4		1		1
P7=		+		•		=		, p6=		+		•		=
	27		27		2		2		28		28		2		2

	12		5		1		1		12		6		1		1
p5=		+		•		=		, p4=		+		•		=
	29		29		2		2		30		30		2		2

	12		7		1		1		12		8		1		1
p3=		+		•		=		, p2=		+		•		=		,
	31		31		2		2		32		32		2		2

	12		9		1		1
a więc p1=P(WK)=		+		•		=
	33		33		2		2

Przyznam, że nigdy takiego zadania nie robiłem, ale myślę (jako wróg drzewek), że po narysowaniu drzewka sprawa byłaby oczywista.

PW:

	4		12
W 9. wierszu poprawiałem z		na		, ale mianownika nie zmieniłem i zostało
	11		33

	12
		− proszę się nie naśmiewać, wiem, że prawdopodobieństwo aż tak wielkie nie bywa.
	11

PW: @mania17: Nie dziękuj, napisz chociaż czy narysowałaś drzewko i odpowiedź jest taka jak policzyłem (bo jak nie, to się pochlastam − spędziłem nad tym dobre pół godziny).

mania17: Dzięki wielkie

mania17: @PW: Według mojej pani wszystko było w porządku

PW: