takie tam zadania przed sprawdzianem kasiap: zad.1 W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa 12cm i dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki, których długości pozostają w stosunku 4:9. Oblicz pole tego trójkąta. zad.2 W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 30cm. Pole trójkąta jest równe 300cm2. Oblicz wszystkie wysokości w tym trójkącie. zad.3 Środkowe CD i BE trójkąta ABC przecinają się pod kątem 45 stopni. Wiedząc że IBEI=12cm oraz ICDI=21cm oblicz pole trójkąta ABC. zad.4 Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB. Środkowe AL i BK przecinają się w punkcie S pod kątem 60 stopni. Wiadomo, że pole trójkąta ABS jest równe √3. a) Oblicz długość boków trójkąta ABC. b) Czy kąt ACB jest równy 30 stopni? Odpowiedź uzasadnij.

Janek191: z.1 h = 12 cm c = 4x + 9 x zatem h² = 4x*9x = 36 x² h = 6 x −−−−−−−−− więc 6 x = 12 cm ⇒ x = 2 cm dlatego c = 4 x + 9 x = 13 x = 13*2 cm = 26 cm Pole trójkąta P = 0,5 c*h = 0,5 * 26 cm * 12 cm = 156 cm² ===================================

Janek191: z.1 h = 12 cm c = 4x + 9 x zatem h² = 4x*9x = 36 x² h = 6 x −−−−−−−−− więc 6 x = 12 cm ⇒ x = 2 cm dlatego c = 4 x + 9 x = 13 x = 13*2 cm = 26 cm Pole trójkąta P = 0,5 c*h = 0,5 * 26 cm * 12 cm = 156 cm² ===================================

Janek191: z.2 a = 30 cm P = 300 cm² b = c Mamy 0,5 a*h₁ = P 0,5*30 *h₁ = 300 h₁ = 20 −−−−−−−−−−−−− Z tw. Pitagorasa mamy ( 0,5 a)² + h₁² = b² b² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625 b = √625 = 25 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− c = 25 −−−−−−−−− h₂ = h₃ zatem 0,5 b*h₂ = P 0,5 *25 * h₂ = 300 25 h₂ = 600 / : 25 h₂ = h₃ = 24 Odp. h₁ = 20 cm, h₂ = h₃ = 24 cm. ================================

Janek191: O − punkt przecięcia się środkowych I BE I = 12 cm , więc I EO I = 12 cm : 3 = 4 cm i I BO I = 2* 4 cm = 8 cm oraz I CD I = 21 cm, więc I DO I = 21 cm : 3 = 7 cm i I CO I = 2* 7 cm = 14 cm Niech I AF I − długość III środkowej I AO I = 2 x ; I FO I = x Niech α = I ∡ AOD I , β = I ∡ AOE I Mamy PΔ_AOD = 0,5*2x*7*sin α = 7x* sin α oraz PΔ_COF = 0,5*14*x *sin α = 7x*sin α więc PΔ_AOD = PΔ_COF Podobnie PΔ_AOE = PΔ_BOF zatem P_ADOE = PΔ_AOD + PΔ_AOE = PΔ_COF + PΔ_BOF = PΔ_BOC −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	√2
PΔBOC = 0,5*8*14*sin135o = 56*sin 45o = 56*		= 28√2
	2

więc P_ADOE = 28 √2

	√2
PΔBOD = PΔCOE = 0,5*7*8*sin 45o = 28*		= 14 √2
	2

więc pole Δ_ABC P = 2*28 √2 + 2*14 √2 = 84 √2 Odp. P = 84 √2 cm² ====================