rownanie roznicowe to tylko ja: rozwiazac rownanie roznicowe y_n+1+y_n=n². jak to sie robi? prosze o pomoc.

M:

Mariusz: Z(y_n)=Y(z) Y(z)=∑_n=0^∞y_nz⁻ⁿ ∑_n=0^∞y_n+1z⁻ⁿ + ∑_n=0^∞y_nz⁻ⁿ = ∑_n=0^∞n²z⁻ⁿ

1
	∑n=0∞yn+1z−n−1+∑n=0∞ynz−n = ∑n=0∞n2z−n
z

d		d		1
	(∑n=0∞z−n) =		(		)
dz		dz		1   1−   z

d		d		z
	(∑n=0∞z−n) =		(		)
dz		dz		z−1

	1*(z−1)−z*1
∑n=0∞(−n)z−n−1 =
	(z−1)2

	−1
−∑n=0∞nz−n−1 =
	(z−1)2

	z
∑n=0∞nz−n =
	(z−1)2

d		d		z
	(∑n=0∞nz−n) =		(		)
dz		dz		(z−1)2

	1*(z−1)2−z*2*(z−1)
∑n=0∞−n2z−n−1 =
	(z−1)4

	z−1 − 2z
−∑n=0∞n2z−n−1 =
	(z−1)3

	−1 − z
−∑n=0∞n2z−n−1 =
	(z−1)3

	z(z+1)
∑n=0∞n2z−n−1 =
	(z−1)3

1
	∑n=0∞yn+1z−n−1+∑n=0∞ynz−n = ∑n=0∞n2z−n
z

1		z(z+1)
	∑n=1∞ynz−n +∑n=0∞ynz−n =
z		(z−1)3

1		z(z+1)
	(∑n=0∞ynz−n − y(0)z0)+∑n=0∞ynz−n =
z		(z−1)3

1		z(z+1)
	Y(z) − y(0)z−1 + Y(z) =
z		(z−1)3

	1		z(z+1)
(		Y(z)) + Y(z) = y(0)z−1 +
	z		(z−1)3

1+z		z(z+1)
	Y(z) = y(0)z−1 +
z		(z−1)3

Y(z)		y0		z
	=		+
z		z(z+1)		(z−1)3

	y0		z
Y(z)=		+
	z+1		(z−1)3

	y0z(z−1)3+z(z+1)
Y(z) =
	(z+1)(z−1)3

Teraz odwracamy przekształcenie Z korzystając z residuów

(y0z(z−1)3+z(z+1))zn−1
(z+1)(z−1)3

z=−1, biegun jednokrotny zatem obliczamy

	(y0z(z−1)3+z(z+1))zn−1
limz→−1((z+1)*		)
	(z+1)(z−1)3

	(y0z(z−1)3+z(z+1))zn−1		((y0)(−1)(−2)3)(−1)(n−1)
limz→−1		=		=
	(z−1)3		(−2)3

8y0
	(−1)n−1 = y0(−1)n
−8

z = 1 biegun trzykrotny

	1	d2		(y0z(z−1)3+z(z+1))zn−1
limz→1			(z−1)3*
	2	dz2		z+1

	1	d2		y0z(z−1)3+z(z+1))zn−1
limz→1			(		)
	2	dz2		z+1

	1	d2	((y0(z−1)3+(z+1)zn))
limz→1
	2	dz2	z+1

	1	d2		(z−1)3zn
limz→1			(y0		+ zn)
	2	dz2		z+1

	1
Co po obliczeniu da		n(n−1)
	2

Sumując otrzymujemy

	1
y(n) = y0(−1)n +		n(n−1)
	2

Mariusz: Błąd w rachunkach, źle wyciągnąłem z Powinno być z(∑_n=0^∞y_n+1z⁻ⁿ⁻¹) + (∑_n=0^∞y_nz⁻ⁿ) = (∑_n=0^∞}n²z⁻ⁿ) Dalsza konsekwencja błędu

	z(z+1)
z(∑n=1∞ynz−n) + (∑n=0∞ynz−n) =
	(z−1)3

	z(z+1)
z(∑n=0∞ynz−n − y0) + (∑n=0∞ynz−n) =
	(z−1)3

	z(z+1)
zY(z) − y0z + Y(z) =
	(z−1)3

	z(z+1)
(z+1)Y(z) = y0z +
	(z−1)3

	y0z		z
Y(z) =		+
	z+1		(z−1)3

Teraz aby odwrócić przekształcenie Z możemy zastosować rozkład na sumę ułamków prostych do funkcji

Y(z)		y0		1
	=		+
z		z+1		(z−1)3

albo zastosować metodę residuów do funkcji Y(z)zⁿ⁻¹

: Przyjmując, że y_o jest znane, dostaje się: y₁=−y₀ y₂=1+y₀ y₃=3−y₀ Z metody przewidywania wiadomo, że wzór ogólny ma postać: y_n=A(−1)ⁿ+Bn²+Cn+D więc należy rozwiązać układ: dla czterech pierwszych wyrazów ciągu. Dostaje się: A=y₀, B=1/2 , C=−1/2, D=0