Indukcja matematyczna Robert: Wykaż,że dla każdej liczby naturalnej dodatniej prawdziwe są wzory: 1³+2³+3³+...+n³=¹₄n²(1+n)²=(1+2+3+...+n)²

Basia: napiszę, ale trochę to potrwa

Robert: bardzo dziekuję już z góry

Basia: potrzebne dwa dowody więc najpierw:

	1
Tw1: 13+23+...+n3 =		n2(1+n)2
	4

dowód: krok 1 n = 1 L = 1³ = 1

	1		1
P =		*12(1+1)2 =		*1*4 = 1
	4		4

L = P krok 2

	1
Załind: 13+23+...+n3 =		n2(1+n)2
	4

	1
Tezaind: 13+23+...+n3+(n+1)3 =		(n+1)2(2+n)2
	4

dowód_ind:

	1
13+23+...+n3+(n+1)3 =		n2(n+1)2 + (n+1)3 =
	4

	1		n2+4n+4
(n+1)2*[		n2 + n+1 ] = (n+1)2*		=
	4		4

	(n+2)2		1
(n+1)2*		=		(n+1)2(2+n)2
	4		4

c.b.d.u. teraz wystarczy udowodnić Tw2:

	1
(1+2+...+n)2 =		n2(n+1)2
	4

dowód: tu nie jest potrzebny dowód indukcyjny (chociaż oczywiście można to także udowodnić indukcyjnie) z własności ciągu arytmetycznego mamy

	1+n		1
(1+2+...+n)2 = [		*n]2 =		n2(n+1)2
	2		4

c.b.d.u

Natasza: Ogromne dziękiw życiu bym tego nie zrobił...Jesteś wspaniała i genialna