alg dawid: Trivial, Krzysiek moglibyście tutaj zajrzeć, jeśli mielibyście czas ? Ogólnie miałem za zadanie udowodnić wzór roz. Laplace'a tj.: det(A) = a_i1A_i1 + ... + a_in + A_in Muszę raczej udowodnić coś takiego: D(A1, . . . , bAj, . . . , An) = bD(A1, . . . , An), przy czym mogę korzystać z D(A) = a_i1A_i1 + ... + a_in + A_in jeżeli będzie potrzebne [b to dowolony skalar, natomiast A1, ... to kolumny wysokości (gdzie D : M_{m x n}(K) → K) ]

ogipierogi: http://osilek.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algebra_liniowa_z_geometri%C4%85_analityczn%C4%85/Wyk%C5%82ad_7:_Wyznacznik tutaj jest w ktoryms miejscu dowód

dawid: ale chyba nie tego co ja chcę udowodnić − chodzi mi o to: D(A1, ... , bA_j, ... ) = bD(...)

ogipierogi: aaaa to przepraszam

dawid:

dawid:

Trivial: Jeżeli mamy macierze: A_b = [ a₁ a₂ ... ba_k ... a_n ] A = [ a₁ a₂ ... a_n ] to det(A_b) = b*det(A). Podpowiem tylko o co tutaj chodzi bez dawania dowodów formalnych. Wyznacznik jest sumą wszystkich możliwych wyborów iloczynów elementów macierzy, tak żeby z żadnego wiersza i kolumny nie wybrać więcej niż jednego elementu. Dodatkowo, jeśli nasz wybór jest permutacją nieparzystą, znak jego iloczynu zmieniamy na przeciwny. Jak odróżnić, kiedy permutacja jest parzysta, a kiedy nieparzysta? Liczymy ile wymian wierszy jest potrzebne aby elementy leżały na przekątnej. Parzystość liczby wymian jest taka sama jak parzystość permutacji. Przykład: 2x2

1 2 3 4

Możliwe wybory to:

1 2 3 4
	→ 1*4 = 4

1 2 3 4
	→ −2*3 = −6

Drugi wybór wymaga jednej wymiany wierszy tak żeby jego elementy leżały na przekątnej:

3 4 1 2

więc permutacja jest nieparzysta. W = 4 − 6 = −2. I teraz: jeśli mamy kolumnę przemnożoną przez liczbę b, to w każdym iloczynie będzie dokładnie jedna liczba pomnożona przez b (nie możemy wybierać więcej niż jednego elementu z kolumny). Znak permutacji nie zmieni się. Możemy wyłączyć b przed nawias i gotowe.

dawid: To najlepiej zacząć od podstaw, czyli: jak się liczy wyznacznik:

⎧	a a a
⎨	−a a a
⎩	−a −a a

Jakie metody na to są, ponieważ nie miałem z tego jeszcze wykładu, a listę chcę zrobić jedną "do przodu".

dawid: Bo Metoda Sarrusa znam: [a a a] | [ a a] [−a a a] | [−a a] [−a −a a] | [−a −a] = a³ − a³ + a³ − (−a³ − a³ − a³) = a³ + 3a³ = 4a³ dobrze ? I jak to obliczyć z Lapleace'a

dawid:

dawid: ok, już rozprawiłem się z Lapleace'm ale nie wiem jak zrobić taki przykład: | a b c d | | b −a d −c | | c −d −a b | | d c −b −a | i jest taka wskazówka, aby wpierw obliczyć AA^T następnie wykorzystać tw. Cauchego mówiące o wyzn. iloczynu macierzy.

asdf: o to chodzi, zeby wyzerować to co jest pod każdą komórką znajdującą się na głównej przekątnej, zaznaczone na czerwono, jak 0.00 −1.00 0.00 −1.00 2.00 −1.00 0.00 −1.00 2.00 w 1 <=> w2, [P[zmiana znaku na koniec wyznacznika! na przekątnej nie moze byc zero, więc szukam pierwszego lepszego wiersza, ktory ma liczbe ≠ 0, ]] −1.00 2.00 −1.00 0.00 −1.00 0.00 0.00 −1.00 2.00 w3 == w 3 − (1.000000)*w2, −1.00 2.00 −1.00 0.00 −1.00 0.00 0.00 0.00 2.00 det=−2.000000 Na koniec mnoze wszystkie liczby na przekątnej: (−1)(−1)* 2 = 2, ale u gory zmienialem jeden raz wiersz więc (−2), jakbym zmienial parzystą ilosc razy to wyznacznik nie zmienia znaku

dawid: Jak zauważyłeś, że A^T = −A ? Na jakiej podstawie? Dopiero zaczynam z macierzami i wyznacznikami, stąd takie podstawowe pytania

Trivial: Weź spójrz na tę macierz i powiedz mi, że nie widzisz A^T = −A. Przecież to się rzuca od razu w oczy.

dawid: Nie umiem tego wytłumaczyć http://www.math.edu.pl/macierz-transponowana Przeczytałem to i z tego wychodzi, że: A^T = | a b | b −a | c d | d c ... Ale nie łapie do końca tego −A, jak to odwraca w sensie wszystkie znaki czy co

dawid: I gdzie tutaj zastosowaliśmy Cauchego ?

Trivial: Eh. Chyba ja widzę za dużo.

dawid: widzisz bo to bardzo dobrze umiesz , ja dopiero zaczynam, niestety ...

dawid: mógłbyś to jakoś bardziej opisać ?

Trivial: Tamten sposób nie działał. a b c d b −a d −c c −d −a b d c −b −a * a b c d b −a −d c c d −a −b d −c b −a = a²+b²+c²+d² 0 0 0 0 a²+b²+c²+d² 0 0 0 0 a²+b²+c²+d² 0 0 0 0 a²+b²+c²+d² det(AA^T) = det(A)det(A^T) = det(A)det(A) = (det(A))² det(AA^T) = (a²+b²+c²+d²)⁴ Czyli det(A) = ±(a²+b²+c²+d²)² Jeszcze trzeba określić jakoś znak wyznacznika.

Trivial: Można to zrobić podstawiając a = 1, b=c=d=0 i zobaczyć czy dostaniemy +1 czy −1. Z wcześniejszego wzoru: det(A) = ±(1² + 0)² = ±1. Sprawdźmy... 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 det(A_a=1,b=c=d=0) = (−1)³ = −1. Zatem wybieramy znak −. Końcowa odpowiedź: det(A) = −(a²+b²+c²+d²)²

dawid: Czyli tak: 1) mnożymy 2) następnie podstawiamy pod wzór 3) określamy znak ale gdzie mu tutaj wykorzystujemy informacje o tw. Cauchego ?

Trivial: No przecież rozdzieliłem det(AA^T) = det(A)*det(A^T), potem jeszcze użyłem det(A^T) = det(A) i otrzymałem det(AA^T) = (det(A))². Skoro (det(A))² = (a²+b²+c²+d²)⁴ to det(A) = ±(a²+b²+c²+d²)² i musimy jeszcze określić który znak "działa". Wybrałem przykładowe wartości tak żeby łatwo się liczyło i koniec.

dawid: a wymnożyć − to normalnie, w sensie tak jak zwykłą macierz ?

Trivial: Niestety tak. Można zauważyć tylko tyle, że ta macierz jest ortogonalna (AA^T = k*J), k − jakaś stała, J − macierz jednostkowa.

dawid: Można jakoś łatwo uzasadnić, że jak skoro mamy macierz o wymiarach m x m, gdzie m jest liczbą nieparzystą. Zachodzi dla niej warunek, że a_ij = −a_ij. I trzeba uzadanić, że det jest = 0. [i oraz j to liczby dowolne] Z samego warunku mogę zauważyć, że elem. występujące na przekątnej "=0".

Trivial: Zakładam że chodziło Ci o a_ij = −a_ji ⇒ A^T = −A Teraz jest to, co niby "zauważyłem" wcześniej. det(A^T) = det(−A) = −det(A) Ale mamy też: det(A) = det(A) co daje det(A) = −det(A) czyli det(A) = 0. A jeśli zachodzi warunek a_ij = −a_ij, to każdy element jest zerem.

dawid: a mógłbyś to na jakimś prostym przykładzie to zilustrować? te A^T = −A

Trivial: 0 1 2 3 4 −1 0 5 6 7 −2 −5 0 8 9 −3 −6 −8 0 10 −4 −8 −9 −10 0

dawid: a jakby wyglądało A^T = A ?

Trivial: Na przekątnej mogłoby być cokolwiek, a cała reszta odbita symetrycznie do tej przekątnej. (bez minusów)

dawid: no ok, a wniosek ten: det(A^T) = det(−A) = −det(A) to na podstawie czego tak wyciągamy ten minus ? oraz nie rozumiem do końca zapisu, że skoro mamy det(A) = det(A) oraz det(A) = −det(A) to jak z tego otrzymać det(A) = 0 ? i skąd wiadomo, że det(A) = det(A) ?

dawid:

dawid:

dawid:

dawid:

Trivial: A właśnie! det(−A) = (−1)^mdet(A) = −det(A) // m jest nieparzyste. To z podstawowych własności wyznaczników: det(cA) = cⁿ*det(A), gdzie n − rozmiar.

Trivial: A skąd wiemy, że det(A) = 0? Czy znasz jakąś inną liczbę x, która spełnia równanie x = −x? (u nas x = det(A))

dawid: faktycznie , dziękuje bardzo to może ostatnie zadanko na dzisiaj chodzi mi o to, że mam macierz | 1 2 | | 2 5 | i mamy podać mac. odwrotną wykorzystując przy tym wzory na mac. odwr w "terminach" http://pl.wikipedia.org/wiki/Dope%C5%82nienie_algebraiczne

Trivial: det(A) = 5 − 4 = 1

	5 −2 −2 1
D =

	1		5 −2 −2 1
A−1 =		DT =
	det(A)

dawid: rozumiem, że wpierw liczymy wyznacznik, a to:

	5 −2 −2 1
D =		co oznacza ?

asdf: macierz dopelnien

dawid: a jak ją się tworzy?

Trivial: Tak jak w tym artykule na wiki.

asdf: dla macierzy dopełnień: a_ij skreślasz i−ty wiersz, j−tą kolumne i liczysz wyznacznik, zmieniasz znak jak i+j jest nieparzyste: |a₁₁ a₁₂ | |a₂₁ a₂₂ | D: a₁₁ = (−1)¹⁺¹ * | a₂₂ | a₁₂ = (−1)¹⁺² * | a₂₁ | a₂₁ = (−1)²⁺¹ * | a₁₂ | a₂₂ = (−1)²⁺² * | a₁₁ | na youtube wpisz macierz dopelnien albo wygogluj

dawid: no tak, tylko tam w przykładzie jest przez usunięcie jakiegoś elementu, a tutaj dostajemy coś innego

Trivial: Nie dostajemy nic innego. Skreślając zostaje tylko jeden element (tak jak wyjaśnił asdf).

dawid: a co oznacza w tym wzorze D^T ? po co to "T" ?

dawid: oraz mam taki przykład gdzie macierz: | 2 2 3| | 1 −1 0| |−1 2 1| oraz dopełnienie wyszło mi: |−1 −1 1| | 4 5 −6| | 3 3 −4| dobrze? jeżeli tak to jak to dokończyć w sensie obliczyć macierz odwrotną korzystając z dopełnienia

asdf: nie sprawdzalem wyniku, teraz musisz ją transponować, czyli to "T" − zamiana wierszy z kolumnami tak jakby: patrzysz na kolejne liczby tak jakbys czytal a zapisujesz je w macierzy w dół..a jak sie skonczy wiersz to w kolumnie kolejnej itd.., np. −1 −1 1 4 5 −6 3 3 −4 transponowana: −1,4,3, −1,5,3, 1,6,−4

asdf: tam powinno byc −6

dawid: asdf, Twój post z wczoraj czego dotyczył (dokładnie z godziny 13:55)

Marcela: Pomóżcie ! V sześcianu jest równa 81 √3 . Oblicz jego Pc.

Marcela: Oblicz Pc i V graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości podstawy równej 8 cm i przekątnej ściany bocznej 3√5 cm.

dawid: załóż własny temat

Marcela: założyłam !

asdf: To jest sposób liczenia wyznacznika macierzy − poszukaj na youtube, a na pewno bedziesz wiedziec o co chodzi

dawid: Trivial, a mógłbyś napisać dowód formalny tego zadania z 11 maja 14:01 ? Bo nie wiem nawet jak zacząć.