Sinusy.. cos.. Adrian: Wyznacz wszystkie rozwiązania równania sin² x cos² x = ¹₈ − ^√3₁₆ należące do przedziału <0; π>.

Basia: szkoła to jest czy studia ?

Eta: O to samo miałam zapytać

Eta:

	2−√3
sin22x=
	4

Basia: zgadza się i bez arcusów ani rusz dalej

Eta: No właśnie

Eta: No pora spać .... dobrej nocki Basiu i wszystkim nocnym Markom

Basia: no to dokończę, bo odpowiedzi chyba się nie doczekamy

	√2−√3
sin(2x) =
	2

	√2−√3
2x = arcsin		+2kπ
	2

lub

	√2−√3		√2−√3
2x = π−arcsin		+2kπ = −arcsin		+ (2k+1)π
	2		2

	1		√2−√3
x =		arcsin		+ kπ
	2		2

lub

	1		√2−√3		(2k+1)π
x = −		arcsin		+
	2		2		2

do przedziału <0;π> należą tylko rozwiązania dla k=0 czyli

	1		√2−√3
x =		arcsin
	2		2

lub

	1		√2−√3		π
x = −		arcsin		+
	2		2		2

Basia: Dobranoc Eto, miłych snów

Adrian: Rozmyślałem nad kolejnym zadaniem i się trochę zamyśliłem.. ^^" Szkoła. O arcusach tylko słyszałem że istnieją.

Basia: no to jak widzisz nie mamy pojęcia jak to rozwiązać

	1		√3
nie pomyliłeś się przy przepisywaniu tej liczby		−		?
	8		16

	1		√3
gdyby było		−		dałoby się chyba rozwiązać (ale nie jestem pewna)
	8		8

Basia: a nie; tak być nie może; to jest ujemne

Adrian: Nie pomyliłem się. Jestem pewien. Może błąd treści.

Basia: a z jakiego zbioru jest to zadanie ?

Adrian: Strona zadania.info udostępniła zadania pseudo maturalne (3 arkusze napisane w stylu matur).

Basia: możesz wrzucić link ?

Adrian: Tak więc do zadania nie mam odpowiedzi, autorzy stworzyli zadanie, ale niestety może jednak o poziom za wysoko się postarano w zadaniu.

Adrian: Jasne. Muszę tylko znaleźć link bo korzystam z pdfa.

Adrian: http://www.zadania.info/d1507/64260 Zadanie 5

Basia: no rzeczywiście; pomyślę jeszcze, ale to już chyba jutro nie mam tam abonamentu, a ciekawa jestem rozwiązania możliwe też, że coś źle napisali

Adrian: Na spokojnie ; )

Vizer: Nie jest to oczywiste, ale :

	1		√3
sin2xcos2x =		−
	8		16

(4sinxcosx)² = 2 − √3 2 − (4sinxcosx)² = √3 2 − (2sin(2x))² = √3 2sin²(2x) + 2cos²(2x) − 4sin²(2x) = √3 2cos²(2x) − 2sin²(2x) = √3

	√3
cos2(2x) − sin2(2x) =
	2

	√3
cos(4x) =
	2

Co dalej jest do policzenia, idę spać w spokoju.

Basia:

1		√3		1		√3
	−		=		(1−		)
8		16		8		2

chcę to przedstawić w postaci (a−b)²

	√3
1−		= (a−b)2 = (a2+b2) − 2ab
	2

	√3
2ab =
	2

	√3
b =
	4a

a²+b² = 1

	3
a2 +		= 1
	16a2

16a⁴ + 3 = 16a² 16a⁴ − 16a² + 3 = 0 Δ = 16² − 12*16 = 16(16−12) = 16*4 = 64

	16−8		8		1
a2 =		=		=
	32		32		4

	3
b2 =
	4

czyli

	√3		1		√3
1−		= (		−		)2
	2		2		2

lub

	√3		1		√3
1−		= (		+		)2
	2		2		2

lub

	√3		1		√3
1−		= (−		−		)2
	2		2		2

lub

	√3		1		√3
1−		= (−		+		)2
	2		2		2

	1
sin2x*cos2x = (sinx*cosx)2 = (12*sin(2x))2 =		sin2(2x)
	4

i mamy

1		1		1		√3
	*sin2(2x) =		*(		−		)2
4		8		2		2

	1		1		√3
sin2(2x) =		*(		−		)2
	2		2		2

	1		1		√3
sin(2x) =		*(		−		)
	√2		2		2

lub

	1		1		√3
sin(2x) =		*(−		+		)
	√2		2		2

	√2
sin(2x) =		*(cosπ3 − cosπ6) =
	2

√2		√2
	*(−2*1*u{1}(2}) = −
2		2

2x = ^5π₄+2kπ lub 2x = ^7π₄+2kπ x = ^5π₈+kπ lub x = ^7π₈+kπ do przedziału <0;π> należą tylko x=^5π₈ i x=^7π₈ tak samo trzeba rozważyć przypadek (2) można przez sinusy

	√3
i potem jeszcze te różne możliwości rozpisania 1−
	2

chyba tylko drugą, po trzecia i czwarta dają to samo co (1) i (2) jeżeli Ci zależy mogę to jutro rozpisać szczegółowo

Basia: rozwiązanie Vizera jest lepsze; dobranoc

Basia: poza tym pomyliłam się "po drodze"

Basia: i to dwa razy !

Basia: podsumowując: 1. rozwiązanie Vizera jest zdecydowanie lepsze 2. gdybym nie porobiła błędów wyniki byłyby takie same (sprawdziłam już teraz na papierze)

Janek191:

	1		√3
sin2 x * cos2 x =		−		/ * 4
	8		16

	1		√3
2 sin x*cos x * 2 sin x *cos x =		−
	2		2

	2 − √3
sin 2x * 2 sin 2x =
	4

	2 − √3
sin2 2x =
	4

więc

	√ 2 − √3		√ 2 − √3
sin 2x = −		∨ sin 2 x =
	2		2

2 x = 195^o + k*360^o ∨ 2 x = 345^o + k*360^o ∨ 2x = 15^o + k*360^o ∨ 2 x = 165^o + k*360^o czyli po uwzględnieniu , że x ma należeć do < 0^o; 180^o > x = 97,5^o ∨ x = 172,5^o ∨ x = 7,5^o ∨ x = 82,5^o lub

	π		5		7		23
x =		∨ x =		π ∨ x =		π ∨ x =		π
	24		24		24		24

=============================================================

Janek191: W III wierszu jest pomyłka − 2 jest niepotrzebna.Powinno być

	2 − √3
sin 2x * sin 2 x =
	4

	√ 2 − √3
sin 15o =
	2

ZKS: Tak jak Vizer pisał

	1		√3
sin2(x)cos2(x) =		−		/ * 8
	8		16

	√3
2 * [2sin(x)cos(x)]2 = 1 −
	2

	√3
1 − 2sin2(2x) =
	2

	√3
cos(4x) =		.
	2

Adrian: Jeszcze tylko dopytam (w komentarzu Vizera) bo nie rozumiem przejścia 4 linijki w 5. Ktoś mógłby wyjaśnić?

ZKS: Trochę to nie potrzebne jest ale jak wiesz sin²(x) + cos²(x) = 1 więc 2 = 2[sin²(x) + cos²(x)] = 2sin²(x) + 2cos²(x).

Adrian: Aha, dobra, już mam. Nie zauważyłem wstawienia i szukałem rozbudowania, któregoś ze wzorów. Wszyscy − dziękuję za duże zaangażowanie. : )