zbadać liczbę rozwiązań wielomianu w zależności od parametru m kasiaszek: Dana jest funkcja f(x)=x³−(m−2)x+2 Zbadaj liczbę pierwiastków równania f(x)=0 w zależności od parametru m.

Basia: na pewno tam jest x³ ?

kasiaszek: tak, to jest zadanie w dziale wielomianów

Basia: metodami szkolnymi tylko graficznie, a i to nie będzie łatwo jesteś pewna, że czegoś nie pominęłaś w treści tego zadania ?

kasiaszek: jest do tego podpunkt a jeszcze: dla m=1 rozwiązać równanie f(x)=8(x+1), a tamto jest podpunktem b

Basia: coś pokręciłaś; przecież dla m=1 to będzie f(x) = x³−(−1)x+2 = x³+x + 2 a nie 8(x+1)

ZKS: Basia chodzi chyba o to że dla m = 1 masz rozwiązać równanie f(x) = 8(x + 1) więc x³ − (1 − 2)x + 2 = 8(x + 1) x³ + x + 2 = 8x + 8 x³ − 7x − 6 = 0.

PW: Rozwiązanie problemu 1. Jeden pierwiastek jest zawsze, niezależnie od m (wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty). Oznaczmy ten pierwiastek symbolem a. Jest więc (1) x³−(m−2)x+2=(x−a)(x²+bx+c) Po wymnożeniu i przyrównaniu współczynników widać, że b=a (wynika to z faktu, że współczynnik przy x² jest równy 0). Przyrównanie wyrazów wolnych daje 2 = − ac

	−2
(2) c =
	a

(a≠0, co wynika z faktu, że f(0)≠0). Zastosowanie tych informacji pozwala zapisać

	2
(3) f(x) = (x−a)(x2+ ax −		),
	a

przy czym wyróżnik Δ funkcji kwadratowej w (3) jest równy

	8		a3+8
(4) Δ=a2+		=		.
	a		a

Spójrzmy inaczej na równanie f(x)=0. Jest ono równoważne równaniu (5) x³+2 = (m−2)x, a więc szukanie miejsca zerowego a funkcji f można opisać jako szukanie pierwszej współrzędnej wspólnego punktu wykresów funkcji g(x)=x³+2 i h(x)=(m−2)x. Znajomość przebiegu funkcji g i funkcji liniowej h w zależności od znaku współczynnika kierunkowego (m−2) pozwala stwierdzić, że: w tym miejscu warto umieścić wykresy − dwie ilustracje dla (*) i (**) (*) jeżeli m−2>0, to a<−2 (wykresy g i h przecinają się w punkcie leżącym po lewej stronie miejsca zerowego x₀=−2 funkcji g), (**) jeżeli m−2<0, to a∊(−2,0), (***) jeżeli m=2, to równanie (5) ma postać x³−2=0, a więc jedynym miejscem zerowym funkcji f jest liczba −2. Jak łatwo zauważyć w wypadku (*) jest Δ>0 (licznik i mianownik są liczbami ujemnymi), a więc funkcja (1) ma trzy miejsca zerowe. W wypadku (**) jest Δ<0 (licznik dodatni, mianownik ujemny), a więc funkcja (1) ma tylko jedno miejsce zerowe. Odpowiedź. Dla m>2 funkcja f ma 3 miejsca zerowe, a dla m≤2 funkcja f ma jedno miejsce zerowe.

kasiaszek: dzięki bardzo PW

PW: Cała przyjemność, nareszcie coś niebanalnego