oblicz sumę Kamcio :): oblicz sumę S_n=1+2*3+3*7+...+n*(2ⁿ−1) , n∊N₊ gdyby komuś się nudziło i chciałby pomóc dzięki

zombi: Daj mi chwilę rozpisze sobie.

zombi: ∑n(2ⁿ−1) = ∑n*2ⁿ − ∑n Z tożsamości Abela: x₁y₁ + ... + x_n = x₁(y₁−y₂) + (x₁ + x₂)(y₂−y₃) +. ... + (x₁..+x_n−1)(y_n−1−y_n) + (x₁+...+x_n)y_n x_k=1 y_k=2^k dla k=1,2,3...,n ∑2^k = ∑ⁿ⁻¹k*2^k + n*2ⁿ = −(∑k*2^k − n*2ⁿ) + n*2ⁿ = −∑k*2^k + n*2ⁿ⁺¹ ⇒ ∑k*2^k = n*2ⁿ⁺¹ − ∑2^k = 2ⁿ⁺¹(n−1)+2 Czyli ostatecznie

	n(n+1)
∑n(2n−1) = ∑n*2n − ∑n = 2n+1(n−1)+2 −
	2

Kamcio :): aha, dzięki . nei znałem tej tożsamości

zombi: Da się pewnie wieloma innymi sposobami, ale przydatny myczek z Abelem.

Kamcio :): Wymyśliłem trochę inny sposób, bez korzystania ze zbyt skomplikowanych tożsamości. Skorzystałem jedynie z : aⁿ⁺¹−1=(a−1)(aⁿ+aⁿ⁻¹+...+a+1) czyli po przekształceniu, wzoru na sumę ciągu geometrycznego . Mój sposób: S_n=1+2*3+3*7+...+n*(2ⁿ−1)=1*2+2*2²+3*2³+...+n*2ⁿ −

	(n+1)n
		=2+(22+22)+(23+23+23)+...+(2n+2n+ ...[ n razy ]...
	2

	(n+1)n		(n+1)n
+2n)−		=(2+22+23+...+2n)+(22+...+2n)+...+2n−1+2n+2n−		= [teraz
	2		2

mam n−1 sum ciągów geometrycznych, skorzystam z tożsamości którą podałem na początku ]

	(n+1)n
=2*(2n−1)+22*(2n−1−1)+...+2n−1(22−1)+2n−		=2n+1−2+2/div>
	2

	(n+1)n
{n+1}−22+2n+1−23+...+2n+1−2n−1+2n−		=(n−1)*2n+1−(2+
	2

	(n+1)n
22+23+...+2n−1)+2n−		=(n−1)2n+1−2*(2n−1−1)+2n−U{(n+1)
	2

	(n+1)n		(n+1)n
n}{2}=(n−1)2n+1−2n+2+2n−		=(n−1)2n+1+2−
	2		2

wyszło to samo, ale fajnie jest znaleźć własne rozwiązanie pozdrawiam