maturalne xy + xz + yz ≤ 0 HoD: xy + xz + yz ≤ 0 x + y + z =0 y= −z −x x(−z −x) +xz + z(−z −x) ≤ 0 −zx −x² +zx −z² −zx ≤ 0 −x² − z² − zx ≤ 0 x² + z² + zx ≥ 0 (x + z)² −zx ≥ 0 (x + z)² ≥ zx co jest prawdą dla każdego x,z należącego do rzeczywistych Czy takie rozwiązanie jest prawidłowe?

Dominik: a) trzeba napisac, ze wszystkie przeksztalcenia sa rownowazne, zatem wyjsciowa nierownosc jest prawdziwa b) wypadaloby udowodnic (x + z)² ≥ zx.

atak: wystarczyło przeniesc x²+y²+z² na druga strone i juz jest dowod bo masz (x+y+z)²−y²−z²−x²=2xy+2zx+2yz a to jest prawdzwe dla R wiec; xy+zx+yz≤0 ( sam tego nie zrobilem i pluje sobie w brode )

atak: bylo zalozenie ze x+y+z=0 czyli to powyzej jest PRAWDĄ , kurwa mac jak ja moglem tego nie zrobic

Dominik: osobiscie: Z. x + y + z = 0 T. xy + xz + yz ≤ 0 D. x² + y² + z² ≥ 0 x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0

	1
x2 + y2 + z2 − (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) ≥ 0 /*−
	2

xy + xz + yz ≤ 0 QED

syl: 1. xy + xz + yz ≤ 0 /*2 2xy + 2xz + 2yz ≤ 0 (x+y)² − x² − y² + (x+z)² − x² − z² + (y+z)² − y² − z² ≤ 0 (x+y)² + (x+z)² + (y+z)² ≤ 2x² + 2y² + 2z² 2. x + y + z = 0 (x + y + z)² = 0 x² + y² + z² + 2xy + 2xz +2yz = 0 (x+y)² + (x+z)² + (y+z)² − x² − z² − y² = 0 (x+y)² + (x+z)² + (y+z)² = x2 + z2 + y2 3. podstawiam x²+ z² + y² ≤ 2x² + 2y² + 2z² x² + y² + z² ≥ 0 c.n.d. co sądzicie?

Dominik: udowodniles ze x² + y² + z² ≥ 0, brawo! ale pewnie takie glupoty zaliczaja.

syl: myślisz, że zaliczą? to świetnie!

Rafi: ja pierd... Takie banalne rozwiazanie a siedzialem nad tym z godzine dobra, jak nie wiecej.. coz.. 96% musi wystarczyc.. Ja zrobilem cos co jest na pewno złe.. pierwiastkowanie i te sprawy.. Szkoda, bo matura byla latwa..;<

mm: xy + xz + yz ≤ 0 x+y+z=0 / ()² (x+y+z)² −2xy −2xz −2yz >= 0 (0)² −2xy −2xz −2yz >=0 / : (−2) xy + xz + yz <= 0 dostane cos pkt?

Dominik: mm, powinno byc maksimum pkt.

mm: naprawde? tak teraz na to patrze i skad ja niby wzialem to −2xy −2xz −2yz ? reszte mam chyba wszystko dobrze, to zadanie przysporzylo mi nie lada problemow (myslalem nad nim ok 30min) .. 400cm³, 60;45;75; 63 i 72?

syl: wszyscy piszą 400, ja mam 433,33, co jest

Dominik: masz zle.

Dominik: mm, odpowiedzi prawidlowe.

syl: a faktycznie, nie to h wziąłem, dzięks

mm: Dominik jeszcze raz spytam, skad ja wzialem to −2xy −2xz −2yz? Teraz tak sie zastanawiam czy to napewno jest dobrze, niby wszystko ladnie wyszlo no ale cos mi tu nie pasuje.

p: a ja to zadanie zrobilam tak: y=−z−x x(−z−x)+(−z−x)z+zx≤o wyszło x²+z²+zy≥0 z tw. [(a+b)²]/2 ≥ √ab i podstawiłam za to x, z i wyliczyłam Jak myślicie, dobre rozwiązanie?

Dominik: skad ty to wziales to nie wiem, ale prawda jest, ze x² + y² + z² ≥ 0 stad wynika, ze (x + y + z)² − 2xy − 2xz − 2yz ≥ 0

mm: czyli mowisz ze bedzie max za to zadanie? Sory, metlik mam w glowie.

Dominik: ja bym dal. tylko jest drobna niescislosc, bo pierwsza linijka podniesiona do kwadratu u ciebie nie daje drugiej linijki. niemniej jednak wszystkie nierownosci sa prawdziwe, wiec powinno byc okej.

bebysh: poprawne rozwiązanie: (x+y+z)²=x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2zy 2xy+2xz+2zy= −(x² + y² + z²) | :2 xy + xz + zy = −(x² + y² + z²)/2 podstawiamy do nierówności: xy+xz+zy</0 −(x² + y² + z²)/2 </0 suma kwadratów liczb rzeczywistych jest zawsze liczbą nieujemną. Liczba nieujemna lub zero pomnożone przez −1 zawsze da nam liczbę ujemną lub równą zero. Powyższe równanie jest więc uzasadnione, co należało wykazać.

HoD: a jak sie zostawiło w drugim zadaniu z dowodem wynik w postaci 17*(2*6⁹⁸) c.n.w. to bedzie 1 czy 2 pkt?

mm: Ok dzieki wielkie jeszcze pytanie w zadaniu z udawadnianiem podzielnosci liczby przez 17 wyprowadzilem to do postaci 6⁶8 * 34 i napisalem ze 34 jest podzielne przez 17, bedzie 2 pkt z tego?

Grzesiek: HoD x² + xz + z² ≥ 0 traktując x jako zmienna a z jako stała możemy policzyć Δ_x. Δ_x = z² − 4z² = −3z² stąd wiemy że wyrażenie x² + xz + z² nie ma miejsc zerowych więc to wyrażenie jest zawsze większe od 0 to należało udowodnić.

Dominik: bzdura, tego nie nalezalo udowodnic. nalezalo udowodnic, ze xy + xz + yz ≤ 0

bebysh: @mm tak, będzie − o to chodziło w tym zadaniu

HoD: Właśnie ja nie napisałem tego, ale podstawiałem różne liczby w miejsce x,z i zawsze wychodziła mi nierówność prawdziwa, więc zostawiłem wynik

mm: Dzieki serdecznie, pozdrawiam i milego dnia zycze.

Grzesiek: Ale że podstawiłeś kilka liczb to nie jest udowodnienie trzeba pokazać że jest to spełnione dla wszystkich liczb x ; z ∊ R.

Rafi: mm : tez tak zrobilem. i pod tym napisalem ze skoro 34 jest podzielne przez 17 to wtedy bedzie cala liczba podzielna.. Szkoda ze nie zauwazylem tego zeby odjac od siebie (rownanie, nierownosc) − trudno.. a punkt mozna dostac za to zadanie ?

Roso: Ja zrobiłem tak: założyłem że: (x+y+z)²≥0 x²+y²+z² + 2xy+2xz+2yz≥0 zauwazyłem wzór skróconego mnożenia x i z (x+z)²+y²+2xy+2yz≥0 za x+z podstawiłem: −y czyli wychodzi: 2y²+2xy+2yz≥0 y²+xy+yz≥0 y²≥ −xy−yz Potem przekształciłem to co trzeba było udowodnić: xy+xz+yz≤0 y(x+z) +xz≤0 y²≥xz Wstawiłem y² do powyższej nierówności i wyszło: xy+yz+xz≤0 Myślicie że tak można i mi to uznają ?