granica Kamcio :):

	logn
limn→∞
	n4

wyleciało z głowy, z czego to policzyć ?

ICSP: dla n ∊ N (zakładam zę naturalne są bez 0 ) zachodzi : 0 ≤ logn ≤ n podziel to przez n⁴ i gotowe

Kamcio :): dzięki

asdf: dehospitalem, wzor na pochodną logarytmu dziesiętnego:

	1
log10n =
	n*ln10

	1
no a pozniej juz latwo − mnozenie i ln10 =		, a to już jest stała
	10

Nienor:

	1
ln10=2,30..., anie
	10

asdf: zapędziłem się, policzylem pochodną, a pozniej napisałem, ze jest to stała, oczywiscie − ln10 już jest stałą

ICSP: de Hospital w ciągach ?

Kamcio :):

	πn
a jeszcze taka granica : limn→∞(n√sin(		))
	3

Kamcio :): @

Kamcio :):

	πn
ta granica będzie równa 1, tylko czy może być takie uzasadnienie że limn→∞sin		=1 (z
	3

twierdzenia o trzech ciągach, a lim_n→∞ ⁿ√a=1 ?

asdf: @ICSP a dlaczego nie? napisać, zamienić a_n na f(n) i policzyć, później to udowodnić z tw. Heinego i powinno być dobrze

Kamcio :): asdf, ja nie wiem co to znaczy nawet.. l'hospitala to ja będę miał w 3 klasie może jak panią ładnie poproszę

asdf: no to tak − musisz to ograniczyć tw. o 3 ciągach

asdf: jak się uczysz samemu to polecam ten blog: http://www.etrapez.pl/blog/granice/ oraz zbiór 310 zadań z granic ciągu i funkcji z rozwiązaniami krok po kroku − zapytaj google co do twierdzenia − nie jest ono trudne do zapamiętania − ja z interpretacją geometryczną (dwie osie) tego się troche męczyłem − ale da się zrozumieć.

asdf: delopitala możesz się samemu nauczyć, jak ogarniesz dobrze granice funkcji to wtedy tylko formalnośc...wystraczy umieć liczyć pochodne (a uwierz mi, że pochodne jednej zmiennej nie są ciężkie).

Kamcio :): pochodne umiem, granice funkcji też. obecnie jestem przy badaniu zbieżności szeregów

Kamcio :): tyle że uczyłem się tego jakiś czas temu i dużo już pozapominałem ;<

asdf: no to jak mozesz umiec granice funkcji jak nie wiesz co to jest tw. heinego (jedno z definicji granicy funkcji) + nie potrafisz zastosować delopitala − czyli nie potrafisz liczyc granicy funkcji...teraz jestes przy badaniu zbieznosci szeregow − a ten temat chyba do latwych nie należy co? Nie skacz tak..naucz sie powoli, a dokladnie − gdzie Ci sie spieszy − nie jestes jeszcze w 3 klasie, wiec masz jeszcze duzo czasu. P.S ale to tylko moja sugestia.

asdf: jak chcesz się cofnąc i powtorzyc to polecam Ci pokolei: granice ciagu − kilka twierdzen ogarnac, granice funkcji − tez przynajmniej tw. Heinego, pochodna z definicji(granica funkcji), rozwiazywanie granicy funkcji z delopitalem (juz bez przesady − nie trzeba znać twierdzenia delopitala i jego wyprowadzenia − co jest ciezkie..), szereg Taylora, Maclaurina, tw. Rolle'a, tw. Laplace'a, badanie funkcji, jakieś podstawowe całki i dopiero szeregi..

Kamcio :): tak, tylko zrozum że ja się tego nie uczę żeby mieć poukładane czy coś, bo tak jak Ty mówisz to będę się uczył na studiach. Nie potrzebne mi są dowody z użyciem całek, pochodnych itp. Jest mi to potrzebne przede wszystkim do olimpiad z fizyki i z matematyki, a tam jest trochę inne użycie analizy matematycznej niż na studiach

asdf: no to powodzenia Nie wiem co jest na olimpiadach, ale sugeruję Ci, że delopital jest przydatny − i lepiej sobie to oswoić − co na prawde nie jest ciężkie Ja zrozumiałem to i Ty zrozumiesz a teraz lece na uczelnie, jak nie wiesz to pisz, pozniej ewentualnie jak nikt nie odpowie to pomogę.

Kamcio :): dzięki de l'hospitala na pewno się nauczę, ale jeszcze nie teraz

Kamcio :):

	n+a
a ja mam jeszcze takie pytanie czy limn→∞ n√		, gdzie a i b są stałymi , to będzie
	b

zawsze równe 1 ?

Kamcio :): i jeszcze jedno : czy przy badaniu zbiezności szeregów muszę zawsze sprawdzać kryterium konieczne czy mogę je opuścić ? Bo często liczenie tej granicy bywa kłopotliwe, a np przy użyciu innego kryterium od razu widać czy szereg jest zbiezny czy nie

Kamcio :): jeszcze bardziej uogólnię swoje wcześniejsze pytanie :

	anα+b
czy limn→∞ n√		jest zawsze równe 1 chdozi mi o takie α,β , które sa dużo
	cnβ+d

mniejsze od n . często się zdarza np 2, 3, 5 potęga, raz mi się zdarzyła 100 potęga w zadaniu, ale granica czegoś takiego będzie zawsze 1, prawda?

Nienor: Kamcio ale dowody, w pewien sposób "otwierają oczy" i po pierwsze mogą być pomocne przy udowadnianiu czegoś innego (choćby tw. Weinsstrasa), a po drugie wiesz co liczysz i nie robisz głupich błędów.

Nienor: limⁿ√a, przy n→∞ jest zawsze stałe, bo: Jeżeli a>0 ⁿ√a>1, bo 0<b<1 ⇒ bⁿ<1 (1) ⁿ√a=1+δ_n, gdzi δ_n>0 Teraz trzeba wykazać, że: limδ_n=0 Kożystając z (1)

	n k
a=(1+δn)n=∑k=0n		δnk >1+nδn

a>1+nδ_n>0 (bo suma jest większa od 0, dla n≠0) a−1>nδ_n>0

a−1
	>δn>0
n

Z tw. o trzech ciągach limδ_n=0

Kamcio :): dzięki bardziej chodziło mi tak na intuicję, no ale dowód

Kamcio :): jak z tym warunkiem koniecznym, czy muszę go zawsze sprawdzać czy mogę opuścić ?

Nienor: Możesz opuścić, to raczej tak, żebyś wiedział skąd, co i jak.

Kamcio :): jeszcze mam takie pytanie, dlaczego lim_x→0⁺ |sgnx| = 1 ? skoro |sgn0|=0

asdf: bo x−> 0, a nie jest zerem więc z założenia funkcji signum: 1 , x>0 0 , x = 0 −1, x<0

Kamcio :): no ale jak np mamy policzyć granicę funkcji f(x)=x+5 przy x−>3 to granica będzie 8, a nie 7,(9) od lewej i 8,000000000000000000000000000000000000000000001 od prawej

ICSP: x+5 jest ciągła w pkt 3 zatem możesz wstawić.