oblicz całki kasis: 1. ∫(2x+1)²/x²+4 dx 2.∫e^x*ln(e^x+1) dx 3.∫e^x/e^2x+4 dx

AS: Dziewczę miłe − naucz się starannie wpisywać wyrażenia Czy chodzi o funkcje podcałkowe postaci

(2x + 1)2		ex
	i
x2 + 4		e2x + 4

czy tak jak wpisałaś w temacie?

kasis: tak , o dokladnie takie całki mi chodzi jak napisałeś

AS: Całka 1 Przekształcam ułamek

(2*x + 1)2		4*x2 + 4*x + 1		4*x − 15
	=		= 4 +		=
x2 + 4		x2 + 4		x2 + 4

	4*x		15
4 +		−
	x2 + 4		x2 + 4

I = I1 + I2 − I3 I1 = ∫4dx = 4x + C1

	4*x*dx
I2 = ∫		Podstawienie: x2 + 4 = t , 2*x*dx = dt
	x2 + 4

I2 = ∫2*dt/t = 2*lnt = 2*ln(x² + 4) + C2

	15*dx
I3 = ∫		Podstawienie: x = 2*t dx = 2*dt
	x2 + 4

	15*2*dt		30*dt		15		dt
I3 = ∫		= ∫		=		*∫		=
	4*t2 + 4		4*(t2 + 1)		2		t2 + 1

15		15
	*arctg(t) =		*arctg(x/2) + C3
2		2

Szukana całka

	15
I = 4*x + 2*ln(x2 + 4) −		*arctg(x/2) + C1 + C2 − C3
	2

	15
I = 4*x + 2*ln(x2 + 4) −		*arctg(x/2) + C
	2

AS: Całka 2

	ex*dx
I = ∫		Podstawienie: ex = t ex*dx = dt
	e2*x + 4

	dt		1
I = ∫		=		*arctg(t/2} Patrz poprzednia całka
	t2 + 4		2

Zastępując t przez e^x mamy

	1
I =		*arctg(ex/2) + C
	2