Dowód. Miodzio: Udowodnij że: 4(a³+b³)>=(a+b)³ a>0, b>0

zombi: Wyjdziemy od prawdziwej dla a,b>0 nierówności (a+b)(a−b)²≥0 (a+b)[(a²−ab+b²)−ab]≥0 (a+b)(a²−ab+b²) ≥ ab(a+b) a³+b³ ≥ a²b + ab² / *3 3(a³+b³) ≥ 3ab(a+b) = (a+b)³−(a³+b³) ⇔ 4(a³+b³) ≥ (a+b)³ ckd

Rafi: buehehe.. troche myslenia na tym jest.. w zyciu bym na to nie wpadl

sinus: pięknie pozdrawiam sinus

zombi: Albo jako, że siedzę teraz ciągach jednomonotonicznych, to nasza nierówność sprowadza się do a³ + b³ ≥ a²b + ab² Jak wiadomo ciągi (a²,b²) i (a,b) są jednomonotoniczne, zatem nierówność jest prawdziwa Wtedy już tylko wymnożyć odjąć i teza.

PW: Wczuwając się w "zwykłego ucznia" mogę zaproponować taki pomysł. Skoro obie liczby są dodatnie, to b=ax, x>0. Zamiast badać prawdziwość tezy można więc badać, czy nierówność 4(a³+a³x³) ≥ (a+ax)³ jest prawdziwa dla wszystkich x>0. 4a³(x³+1) ≥ a³(x+1)³, x>0 jest równoważna nierówności 4(x³+1) ≥ (x+1)³, x>0 to znaczy 4x³+4 ≥ x³+3x²+3x+1, x>0 3x³−3x²−3x+3 ≥ 0, x>0 x³−x²−x+1 ≥ 0, x>0 x²(x−1) − (x−1) ≥ 0, x>0 (x²−1)(x−1) ≥ 0, x>0 (1) (x+1)(x−1)² ≥ 0, x>0 Widać, że nierówność ta jest prawdziwa − dla wszystkich x>0 pierwszy czynnik po lewej stronie jest dodatni, zaś (x−1)²≥0, przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy x=1, czyli w terminach wyjściowej nierówności a=b. Odpowiedź: Badana nierówność jest równoważna nierówności (1) prawdziwej dla wszystkich x>0, co oznacza, że jest prawdziwa dla wszystkich dodatnich a i b. Udowodniliśmy przy okazji, że równość 4(a³+b³) = (a+b)³ ma miejsce tylko dla a=b, ale o tym nie piszemy na egzaminie, bo należy odpowiadać tylko na postawione pytania. Za dodatkowe spostrzeżenia i tak nie ma dodatkowych punktów.

Eta: