Logarytmy Arek: Witam, Mam propozycję rozwiązania zadania ale nie jestem pewny, czy jest dobra . Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie: (log₃x)² − log₃x² = m ma dwa rozwiązania należące do przedziału <1, ∞) Proponuję narysować lewą stronę równania i prowadząc poziome linie sprawdzić kiedy wykres tej funkcji ma 2 rozwiązania w podanym przedziale. Ale nic mi nie wychodzi. Może ktoś sprawdzić?

pigor: ,,, czy masz odp. taką −1≤ m ≤ 0 , czyli m∊<−1;0>

Arek: Niestety wierzchołek paraboli jest w (1,−1) i tylko jedno ramię należy do przedziału, więc dwóch rozwiązań nie ma nigdy, chyba coś źle robię

PW: (0) (log₃x)²−2log₃x−m=0, x∊(0,∞) Dla ułatwienia rachunków podstawiamy log₃x=u (1) u²−2u−m=0 Δ=4(m+1)>0 ⇔m>−1 Przy takim założeniu równanie (1) ma dwa różne pierwiastki

	2−2√m+1
u1=		=1−√m+1 oraz u2=1+√m+1,
	2

zatem log₃x = 1−√m−1 lub log₃x = 1−√m−1 skąd x=3^1−√m−1 lub x=3^1+√m−1 W treści zadania postawiono warunek,aby obie te liczby były większe lub równe 1: 3^1−√m−1≥3⁰ i 3^1+√m−1≥3⁰, a ponieważ funkcja logarytmiczna o podstawie 3 jest rosnąca, oznacza to, że ma być spełniony układ nierówności 1−√m−1≥0 i 1+√m−1≥0, z których druga jest prawdziwa dla wszystkich rozważanych m, a pierwsza jest równoważna nierówności 1≥√m−1, m>−1 1²≥m−1, m>−1 m≤2, m>−1. Odpowiedź; Równanie (0) ma dwa pierwiastki należące do przedziału <1,∞) dla m∊(−1,2>. Ale rachunki sprawdź. Dodam od razu, że dla niektórych "dwa rozwiązania" oznacza również "dwa pierwiastki niekoniecznie różne", i wtedy bierzemy Δ≥0, czyli m≥−1, ale ja reprezentuję pogląd, że "dwa" to "dwa różne", Zadanie maturalne powinno być sformułowane w sposób nie budzący wątpliwości. Myślę, że błąd rozumowania polegał na badaniu pierwiastków równania (1) zamiast równania (0) − nie było potrzeby mówienia o paraboli.