macierze maciej: Macierze Niech K będzie dowolnym działem a) Podaj przykład niezerowej macierzy o wymiarze 2 x 2 o współczynnikach z K, która jest nieodwracalna. (tzn. która nie posiada elementu odwrotnego względem mnożenia macierzy). b) Podaj przykład macierzy X i Y o współczynnikach z K, takich, że XY ≠ YX.

Aga1.: Co oznacza K?

maciej: Niech K będzie dowolnym działem. Tylko tyle było.

maciej: Pomoże ktoś ?

maciej:

maciej:

Trivial: Chyba dowolnym ciałem. Weźmy K = ℛ.

	1 1 1 1
a)		jest nieodwracalna.

	1 0 0 2		1 1 1 1
b) X =		, Y =

	1 0 0 2	1 1 1 1		1 1 2 2
XY =			=

	1 1 1 1	1 0 0 2		1 2 1 2
YX =			=

maciej: A wiesz może jak zrobić takie zadanie: "Niech V będzie przestrzenią liniową, a U jej podprzestrzenią. Udowodnij, że istnieją przekształcenia liniowe L i M przestrzeni V w siebie, takie, że U jest jądrem L oraz U jest obrazem M."

maciej: oczywiście bardzo dziękuję za rozwiązanie poprzedniego zadania

maciej:

Trivial: M może być np. rzutem prostopadłym na podprzestrzeń U. L może być rzutem prostopadłym na podprzestrzeń X ortogonalną do U. Jak tego dowieść nie wiem.

maciej: Hmm, zastanowię się nad tym. A wiesz może jak ruszyć takie zadanie: Dla macierzy A ∊ M_{m x n} (K) definiujemy funkcję L_A : Kⁿ → K^m wzorem L_A(x) = A * x. a) Udowodnij, że L_A jest przekształceniem liniowym. Wiem, że tutaj trzeba będzie sprawdzić warunki F(v₁ + v₂) = F(v₁) + F(v₂) i F(αv) = ... Ale nie wiem jak to ruszyć. b) Pokazać, że jeżeli A ≠ B to L_A ≠ L_B

Trivial: a) A*(x+y) = Ax + Ay OK A*(αx) = α(Ax) OK b) Jeśli A ≠ B to możemy napisać C = B−A i macierz C nie będzie macierzą zerową. Skoro tak, to L_B(x) = Bx = (A+C)x = Ax + Cx = L_A(x) + Cx Skoro C nie jest zerowe to istnieje wektor x dla którego Cx ≠ 0 a zatem L_B ≠ L_A

maciej: Ale jak to formalnie zapisać, dokładnie chodzi mi oto L_A. Mógłbyś mi coś napisać o tym M_{m x n} co to dokładnie znaczy, i jak traktować na jakimś przykładzie to: L_A : Kⁿ → K^m

Trivial: To jest formalnie zapisane. L_A(x+y) = A(x+y) = Ax + Ay = L_A(x) + L_A(y) L_A(αx) = A(αx) = α(Ax) = αL_A(x).

maciej: A możesz podać jakiś przykład jak ten zapis powinno się traktować? Bo nie rozumiem do końca tego zapisu. W sensie L_A : Kⁿ → K^m

Trivial: M_m×n(K) to macierze rozmiaru m×n nad ciałem K. Ciało K to taki twór algebraiczny które spełnia jakieś tam prawa. Jeśli jesteś zainteresowany jakie to odsyłam do Wikipedii. W praktyce najczęściej K = ℛ (liczby rzeczywiste) albo K = ℂ (liczby zespolone) Przykład dla K = ℛ, rozmiar 2×3

	2 3 1 1 −1 3

Przykład dla K = ℂ, rozmiar 2×1

	1+2i 1−2i

maciej: ok dziękuję, a jaka według Ciebie jest poprawna definicja mnożenia macierzy ? bo muszę udowodnić, korzystając z definicji, że mnożenie jest łączne

maciej:

maciej:

maciej:

maciej: Znalazłem coś takiego: Jeżeli A = [a_ij]_{m x n} oraz B = [b_ij]_{m x n}, to iloczyn macierzy A i B to macierz AB = [c_ij]_{m x n}, gdzie c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_irb_rj Dobra definicja ?

maciej:

maciej:

Trivial: http://www.proofwiki.org/wiki/Matrix_Multiplication_is_Associative

maciej: To takie głupie pytanie dla upewnienia, co oznacza: ◯ [to kółko mniejsze] w podanym linku

Trivial: Tamten dowód jest dla uogólnionego działania mnożenia. Możesz traktować ◯ jako zwykłe mnożenie liczb.