Dariusz: Zadanie z Musztariego; Wskaz wszystkie takie liczby naturalne n, ktorych nie da sie zapisac w postaci sumy kilku kolejnych liczb naturalnych (dowod dla nieparzystych prosze pominac)

Dariusz: Ponawiam

Dariusz: Ponawiam... Wynikiem sa potegi dwojki.

xyz: Też bardzo interesuje mnie dowód tego twierdzenia.

Dariusz: I ponawiam... dowod jest mi potrzebny nie bede ukrywal do zadania z OM, ale moge pytac o rozwiazanie tego zadania bo znajduje sie w Musztarim

b.: Nazwijmy liczbę dobrą, jeśli da sie ja zapisac w postaci sumy kilku kolejnych liczb naturalnych. Mamy S = k+(k+1)+...+(k+a) = (a+1)*(k+a/2). Za k,a możemy wziąć dowolne liczby naturalne (>=1). 1. Biorąc a=1 dostajemy S=2k+1, więc każda liczba nieparzysta jest dobra. 2. Jeśli a jest parzyste, to S dzieli się przez a+1 (liczbę nieparzystą >=3), zaś gdy a jest nieparzyste, to S = (a+1)/2 * (2k+a) dzieli się przez 2k+a (liczbę nieparzystą >=3). Wobec tego dobre liczby muszą mieć dzielnik nieparzysty >=3, czyli nie mogą być potęgami 2. 3. Udowodnimy, że jeśli liczba jest postaci p*q, gdzie p>=2 jest parzyste, a q>=3 nieparzyste, to p*q jest dobra. (a) Jeśli 2p≥q+1: Niech a=q-1. Chcemy, aby p*q = S = q*(k+(q-1)/2), czyli musimy wziąć takie k, aby p = k+(q-1)/2, czyli k = p - (q-1)/2. Takie k jest zawsze całkowite, i będzie >=1, gdy p-(q-1)/2≥1. Stąd p*q jest dobra. (b) Jeśli 2p ≤ q+1: Niech a=2p-1. Chcemy, aby p*q = S = 2p*(k+(2p-1)/2) = p*(2k+2p-1), czyli trzeba wziąć k takie, by 2k+2p-1=q, czyli k=(q+1)/2 - p. Ale k=(q+1)/2-p ≥1 ⇔ 2p ≤ q+1. Zatem p*q jest dobra. Koniec dowodu

Dariusz: Dziekuje bardzo <3...