1 mania: dany jest okrag o rownaniu x²+y²+8x−6y=0. wyznacz rownania stycznych do tego okregu rownoleglych do prostej o rownaniu y=2x−3

rav668: Najpierw rysuneczek i będziemy myśleć zaraz Wyliczamy współrzędne środka okręgu, oraz jego promień: x²+y²+8x−6y=0 x²+8*x+16+y²−6*y+9 (x+4)²+(y−3)²=25 stąd: S(−4,3) r=5

Janek191: x² + y² + 8 x − 6 y = 0 ; y = 2 x − 3 ( x + 4)² − 16 + ( y −3)² − 9 = 0 ( x + 4)² + ( y − 3)² = 25 czyli S = ( − 4; 3) oraz r = 5 Przez punkt S prowadzę prostą prostopadłą do prostej o równaniu y = 2 x − 3 Mamy

	1
2*a2 = − 1 ⇒ a2 = −
	2

	1
y = −		x + b2 − równanie dowolnej prostej prostopadłej do danej prostej.
	2

Wyznaczam b₂ :

	1
3 = −		*( −4) + b2
	2

3 = 2 + b₂ b₂ = 1

	1
y = −		x + 1 − równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez S
	2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Szukam punktów wspólnych tej prostej z okręgiem y = − 0,5 x + 1 x² + y² + 8 x − 6y = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− x² + ( − 0,5 x + 1)² + 8 x − 6*( − 0,5 x + 1) = 0 x² + 0,25 x² − x + 1 + 8 x + 3 x − 6 = 0 1,25 x² + 10 x − 5 = 0 Δ = 10² − 4*1,25*( −5) = 100 + 25 = 125 = 25*5 √Δ 5 √5

	− 10 − 5 √5
x =		= − 4 − 2 √5
	2,5

	− 10 + 5 √5
x =		= − 4 + 2 √5
	2,5

zatem y = −0,5*( − 4 − 2√5) + 1 = 2 + √5 + 1 = 3 + √5 lub y = − 0,5*( − 4 + 2 √5) + 1 = 2 − 2√5 + 1 = 3 − √5 Punkty styczności : A₁ = ( − 4 − 2 √5 ; 3 + √5 ) A₂ = ( − 4 + 2 √5 ; 3 − √5 ) Przez punkty styczności prowadzimy proste równoległe od prostej o równaniu y = 2 x − 3 : y = 2 x + b₃ 3 + √5 = 2*( − 4 − 2 √5) + b₃ b₃ = 3 + 8 + √5 + 4 √5 = 11 + 5 √5 y = 2 x + 11 + 5 √5 ================== y = 2 x + b₄ 3 − √5 = 2*( − 4 + 2 √5 ) + b₄ b₄ = 3 + 8 − √5 − 4√5 = 11 − 5√5 y = 2 x + 11 − 5 √5 ================== Odp. Równania stycznych do danego okręgu i równoległych do prostej o równaniu y = 2 x − 3 : y = 2 x + 11 + 5 √5, y = 2 x + 11 − 5 √5 ==================================

rav668: O naszych dwóch prostych wiemy: y=2x+b Proponuję policzyć odległość punktu od prostej. Ponieważ mamy punkt S oraz znamy odległość prostych od punktu − 5, podstawiamy do wzoru:

	|2*(−4)+(−1)*3+b|
5=
	√22+(−1)2

	−8−3+b
5=		/*√5
	√5

5√5=|−11+b| rozważam dwa przypadki: b−11=5*√5 ⋁ b−11=−5*√5 otrzymaliśmy dwa różne b, które podstawiamy do wzoru funkcji: y=2x+11+5√5 y=2x+11−5√5 no i to by było chyba to Bardzo proszę kogoś o sprawdzenie

rav668: o już jest

Bogdan: okrąg: x² + y² + 8x − 6y = 0, styczna y = 2x + b x² + (2x + b)² + 8x − 6(2x + b) = 0 ⇒ x² + 4x² + 4bx + b² + 8x − 12x − 6b = 0 5x² + (4b − 4)x + b² − 6b = 0 i Δ = 0 Δ = 16b² − 32b + 16 − 20b² + 120b ⇒ b² − 22b − 4 = 0, Δ' = 500, √Δ' = 10√5, b₁ = 11 − 5√5 lub b₂ = 11 + 5√5 Styczne: y = 2x + 11 − 5√5 lub y = 2x + 11 + 5√5