Ciąg+geometria Atar1x: Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Jedna z przyprostokątnych ma długość 6. Jaką długość ma druga przyprostokątna oraz przeciwprostokątna? Wyszło mi 4,5 lub 12 przyprostokatne, 7,5 lub 18 przeciwprostokatne, w odpowiedziach jest 8 i 10, lub ⁹₂ i ¹⁵₂.

Kejt: sprawdźmy.. x;y;6 − dł. boków tr. prostokątnego 6;y;x v y;6;x − ciąg arytmetyczny zał. x;y>0 x²=y²+36

	6+x		x+y
y=		lub 6=
	2		2

1^o

	36+12x+x2
x2=		+36
	4

4x²=36+12x+x²+144 3x²−12x−180=0 /:3 x²−4x−60=0 Δ=16+4*60=16+240=256 √Δ=16

	4−16		−12
x1=		=		=−6 −> nie spełnia zał.
	2		2

	4+16
x2=		=U{20}[2}=10
	2

masz już jeden bok, zgadza się z odpowiedzią, więc dokończ sam

Atar1x: ahh nie dałem mianownika do kwadratu... i stąd błąd dzięki

Kejt: nie ma sprawy

Atar1x: http://www.zadania.info/3872746 Powie mi ktoś skąd sie wzieło "W szczególności iloraz tego ciągu geometrycznego musi być równy 2" Po porostu strzał czy zauważenie tego?

Janek191: Mamy 2 przypadki: 6, 6 + r, 6 + 2r lub 6 − r, 6, 6 + r gdzie r > 0 zatem 1) 6² + ( 6 + r)² = ( 6 + 2r)² 36 + 36 + 12 r + r² = 36 + 24 r + 4 r² 3 r² + 12 r − 36 = 0 / : 3 r² + 4 r − 12 = 0 Δ = 16 − 4*1*(−12) = 16 + 48 = 64 √Δ = 8

	− 4 − 8
r =		= − 6 < 0 − odpada
	2

	− 4 + 8
r =		=2
	2

Wtedy boki trójkąta mają długości : 6,8,10 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2) ( 6 − r)² + 6² = ( 6 + r)² 36 −12 r + r² + 36 = 36 + 12 r + r² 24 r = 36 / : 24 r = 1,5 −−−−−−−−− Wtedy boki trójkąta mają długości : 4,5; 6; 7,5 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Odp. Druga przyprostokątna ma długość 8 , a przeciwprostokątna 10 lub druga przyprostokątna ma długość 4,5 , a przeciwprostokątna 7,5.