g sinus: Wykaż ze liczba n¹³ − n jest podzielna przez 13 doszedłem do takiego momentu n¹³ − n= (n − 1)*n*(n + 1)*(n² + n + 1)(n² − n + 1)(n⁶ + 1) rozpisać to (n⁶ + 1) na (n⁶ + 1) = ((n²)³ + 1) = (n² + 1)*(n⁴ − n² + 1) i teraz mam n¹³ − n= (n − 1)*n*(n + 1)*(n² + n + 1)(n² − n + 1)*(n² + 1)*(n⁴ − n² + 1)

yep: moge sie mylic, ale rozpisanie tu duzo nie da, chyba ze wyciagniesz z tego jakims cudem 13 "przed nawiasy"; innej mozliwosci nie ma, bo jest to liczba pierwsza

ola: Spróbuj indukcyjnie

zombi: Indukcyjnie próbuj albo tak jak już mówiłem n¹²−1 = 0 (mod 13) małe twierdzenie Fermata.

sinus: czyli jak napisze na maturze cos takiego n¹² − 1 = 0 (mod 13) to mi zaliczą zadanie?

Kejt: kurde..to maturalne? chyba muszę zrobić..

sinus: sprobuje to tą indukcja jak co sto wrzuce pożniej rozwiązanie co z tego wszystkiego mi wyszło

yep: @sinus to zadanie maturalne?

Dominik: przeciez n¹³ − n ≡ 0 (mod 13) to teza − nie mozesz po prostu tak napisac i uznac tego za dowod. wystarczy napisac, ze wynika to bezposrednio z malego twierdzenia fermata, ktore jest ogolnie znane.

sinus: probuje to indukcyjnie ale prawie w ogóle nie ruszyłem a robie to tak 1^o dla n = 1 1¹³ − 1 = 1 − 1 = 0 ? czy to jest podzielne przez 13 2^o przyjmuje teze ze n¹³ − n jest prawdziwe dla k stąd k¹³ − k 3^o skoro jest prawdziwe dla k to wykażmy ze jest prawdziwe dla k +1 (k+1)¹³ − (k + 1) = (k+1)((k+1)¹² − 1) ale co to tak naprawde daje skoro to samo probowałem z n chyba ze jest jakis inny sposób indukcyjny ale jesli chodzi o zasade indukcji matematycznej to zawsze wykonywałem to w tych trzech krokach

sinus: ?

zombi: Jak byś chciał to indukcyjnie to musiałbyś raczej wymnożyć (n+1)¹³−n i próbować grupować, żeby dostać 13 jako współczynnik, no ale komu by się chciało podnosić do 13 potęgi. Możesz jeszcze spróbować w ten sposób, że rozpatrzeć jakie reszty z dzielenia przez 13 daje liczba n. Tzn. jeśli n jest podzielne przez 13 to wiadomo jest spełniony, jeśli nie to podstawiać liczby postaci n=13k+p, gdzie p∊{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, co jest również żmudną robotą. Najłatwiej powołać się po prostu na małe twierdzenie Fermata, wtedy właściwie dowód zajmuje 2 linijki.

goovie: Generalnie to, zauwazmy ze pozostale nawiasy da sie jeszcze rozpisac do: n⁴ −n ² + 1 = (n−6)(n+6)(n−5)(n+5)+60n² − 899 ) n² + n + 1 = (n+4)(n−3)+13 n² − n + 1 = (n−4)(n+3)+13 n² + 1 = (n−2)(n+2)+5 Czyli mamy: n(n−1)(n+1)( (n−6)(n+6)(n−5)(n+5)+60n² − 899 )( (n+4)(n−3)+13)( (n−4)(n+3)+13))((n+2)(n−2)+5)) Zauwazmy ze po wymnozeniu otrzymujemy iloczyn 13 kolejnych liczb, poniewaz jeden z czynnikow (a to wystarczy do udowodnienia) wyglada tak: (n+4)(n−3)+13, to oznacza ze kazdy z pozostalych czynnikow bedziemy musieli wymnozyc przez tą 13 co w efekcie da nam to sume liczb podzielnych przez 13, czyli cala ta suma bedzie podzielna przez 13. Rozpisywac tego mi sie nie chcialo, ale jak to moze wygladac mozecie zobaczyc tutaj: http://www.wolframalpha.com/input/?i=n%28n-1%29%28n%2B1%29%28+%28n-6%29%28n%2B6%29%28n-5%29%28n%2B5%29%2B60n%5E2+-+899+%29%28+%28n%2B4%29%28n-3%29%2B13%29%28+%28n-4%29%28n%2B3%29%2B13%29%29%28%28n%2B2%29%28n-2%29%2B5%29%29 Jakbym dostal na maturze pewnie lecialbym z fermata jak powyzej.

sinus: dzięki