liczby Tomek: Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki. ma może ktoś troche czasu zeby mi wytłumaczyć jak liczyc takie i podobne zadania... bede wdzięczny

yep: spojrz tutaj, kazde zadanie klarownie rozwiazane: http://www.zadania.info/d887/1

Tomek: dzięki ale tego chyba nigdy nie pojmę...

Mila: Jakie masz wątpliwości?

Tomek: nie pamiętam jak sie zapisuje jeżeli kolejność ma znaczenie a jesli nie ma... czyli jezeli ma znaczenie to znak newtona?! i jeszcze jak to jest z tą powtarzalnością.... tj ze np powtarzają sie tróji itp....

Maciek: Jaki znak Newtona? Narysuj sobie 8 kresek oznaczających 8 cyfr. pod nimi napisz na ile możliwości możesz umieścić cyfry na danym miejscu (uwzględniając podane dwójki i trójki). Wynikiem zadania jest iloczyn tych cyfr (ilości możliwości ustawienia cyfr w liczbie).

Tomek: rozumiem cię maciek ale nie zawsze można to zrobić poprzez zasade mnożenia.. np tego mojego zadania tak nie zrobisz.... i sorry nie znak tylko symbol.....

xyz: Twoje mozna zrobic zasada mnozenia

Tomek: a mógłbys przedstawic swój tok myslenie? bo ja tego nie kumam...

xyz: Ale łatwiej się posłużyć symbolem newtona

Mila: W tym zadaniu pojedyncze zdarzenie sprzyjające: (22333xyz) gdzie x,y,z∊{1,4,5,6,7,8,9} Kolejność jest istotna, bo np. 21≠12

8 2		8!
	=		=28 − Wybierasz dwa miejsca z 8 dla cyfry 2.
		2!*6!

6 3
	=20 wybierasz z pozostałych 6 miejsc, 3 miejsca dla trójki

zostały 3 miejsca i tu na jedno z nich wybierasz cyfrę na 7 sposobów, na drugie też na 7 sposobów i na ostatnie miejsce tez na 7 sposobów. łącznie mamy: 28*20*7*7*7=560*49*7=192080 Może to być np liczba (25253833). Jak widzisz dwa razy dobrana 5 i raz 8. Jeśli jeszcze coś trzeba wyjaśnić, to pytaj dotąd, aż zrozumiesz.

Tomek: hahah ^^ tak myslełem..., kurde kombinatoryki chyba nigdy nie pojme...

Tomek: no dobra to juz kumam ale jeszcze z prawdopodobieństwem.... było takie zadania na maturze: oblicz ile jest liczb naturalnych osmiocyfrowych ze ich iloczyn cyfr w ich zapisie jest równy 12. rozumiem to grupowanie: I: 2, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1 II: 3, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1 III: 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1 ale jak to dalej ugryźć dzięki mila

Maciek: I: dwójkę możesz ustawić na 8 sposobów, szóstkę na 7. II: tak samo jak z powyższym. III: dwójka na 8 sposobów, druga dwójka na 7, trójka na 6. wynikiem jest suma iloczynów tych powtórzeń czyli 8*7 + 8*7 + 8*7*6 . Tak mi się wydaje.

xyz: Teraz po prostu liczysz na ilu miejscach możesz umieścić cyfry, te zadania na ogół nie sa jakieś zbyt trudne. I.

	8 1
dwojke możemy umieścić na 8 miejscach czyli

	7 1
szostke umieszczamy na pozostałych 7 miejscach

	8 1		7 1
co razem daje		*

II. tak samo jak pierwszy III.

	8 2
dwie dwojki umieszczamy na 2 miejscach

	6 1
trojke na pozostałych 6

	8 2		6 1
co razem daje		*

Na koniec sumujesz wszystko

Tomek: no tak ale co z tymi jedynkami w sumie to je juz mozna tylko na jeden sposób rozmieścić tak?

Maciek:

	1 1
Jeśli chodzi o jedynki...		= 1 więc jak resztę pomnożysz przez te jedynki to nic nie

zmieni.

xyz: Tak. Ale teraz już nie wiem czemu nie można III przykładu zrobić 8*7*6, wyjaśnisz Mila?

Maciek: u mnie jest błąd. xyz ma dobre rozwiązanie.

Maciek: troszkę się pogubiłem z tymi dwójkami...

Tomek: bo 2 powtarza sie dwa razy i tego juz z zasady mnozenia nie da rady.... tak na mój gust....

Tomek: a np takie zadanko: oblicz ile jest liczb naturalnych szesciocyfrowych w zapisie których jest jedna jedynka i dwie dwójki. 6 po 2 * 4 po 1 * 7 *7 *7− tak by było gdyby nie uwzgledniając zera tak a jak bedzie z zerem? mozecie mi napisac jak się wpisuje symbol newtona bo nie wiem...

Mila: (2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1)

8 2
	=28 − wybieramy dwa miejsca dla dwóch cyfr (2)

6 1
	=6 − wybieramy 1 miejsce dla trójki, pozostałe miejsca dla jedynek ( elementy

nierozróżnialne) Razem: 28*6=168 Albo

8 5
	=56 − wybieramy 5 miejsc dla pięciu jedynek

3 2
	=3 wybieramy dwa miejsca dla dwóch dwójek

1 miejsce pozostaje dla 3. Razem: 56*3=168 Inny sposób w następnym wpisie.

Maciek: Tomek uwzględniając zero pamiętaj że ono nie może być na pierwszym miejscu. Na pozostałychg traktujesz je jak normalna liczbę.

Tomek: no właśnie w tym jest problem bo jakbym je traktował jak normalną cyfre to nie byłoby problemu ale jak w tym przypadku to zrobić? robić drugi przypadek dla 0?

Mila: Symbol Newtona:

8 2		8!		8!		6!*7*8		7*8
	=		=		=		=		=28
		2!*(8−2)!		2*6!		2*6!		2

8!=1*2*3*4*5*6*7*8 można zapisać w zależności od potrzebnp. tak 8!=5!*6*7*8 Mnie uczono jeszcze inaczej. np. zdarzenie sprzyjające: (22311111) wiemy, że trzeba to "wymieszać". 8 elementów można ustawić na 8! sposobów, ale jest 5 jednakowych i 2 inne też jednakowe elementy więc mamy:

8!		5!*6*7*8		6*7*8
	=		=		=3*56=168
2!*5!		2*5!		2

Tomek: Mila a spróbowałabyś to oblicz ile jest liczb naturalnych szesciocyfrowych w zapisie których jest jedna jedynka i dwie dwójki? bo nie wiem jak bedzie z tym zerem...

Tomek: moze jednak ktoś sie skusi... będe wdzieczny...

Mila: Rozważymy przypadki: 1) (1,x,y,z,2,2) na pierwszym miejscu wystąpi 1,

5 2
	wybieramy 2 miejsca dla dwóch dwójek,

na pozostałe 3 miejsca wybieramy x,y,z∊{0,3,4,5,6,7,8,9},każda na 8 sposobów

	5 2		5!
Razem:		*83=		*512=5120
			2!*3!

2) (2,2,1,x,y,z) na pierwszym miejscu 2,

	5 1
potem		miejsce dla drugiej 2,

następnie N{4}1} miejsce dla jedynki, na pozostałe miejsca wybieramy x,y,z∊{0,3,4,5,6,7,8,9},każda na 8 sposobów

	5 1		4 1
razem:		*		*83=20*512=10240

3) (m,1,22,x,y) na pierwsze miejsce jedna ze zbioru {3,4,5,6,7,8,9} −7 sposobów,

5 1
	miejsce dla jedynki

4 2
	=6 miejsce dla dwóch dwójek

8² − na pozostałe 2 miejsca : x,y∊{0,3,4,5,6,7,8,9} razem 7*5*6*8²=210*64=13440 Suma zdarzeń: 5120+10240+13440=28800

Tomek: dzięki wszystkim naprawdę mi pomogliście jeszcze na pewno będę pisał

PW: Pokuszę się o nieco inny opis rozwiązania. Nazwijmy ciągiem typu Z dowolny ciąg, w którym są dokładnie dwie dwójki i jedna jedynka, a na pozostałych miejscach dowolne liczby ze zbioru P={0,3,4,5,6,7,8,9}. Utworzenie n−elementowego ciągu typu Z polega na: − wybraniu 3 miejsc spośród n i ustawieniu na nich na 3 możliwe sposoby liczb 1,2,2 − przyporządkowaniu pozostałym (n−3) miejscom dowolnych liczb ze zbioru P, co można uczynić na 8ⁿ⁻³ sposobów. Można więc utworzyć

	n 3
L(n) =		•3•8n−3

n−elementowych ciągów typu Z. Policzenie 6−cyfrowych liczb spełniających warunki zadania to obliczenie różnicy L(6)−L(5). Uzasadnienie: obliczenie L(6) odpowiada policzeniu wszystkich 6−elementowych ciągów typu Z − takich, których pierwszym elementem jest "nie zero" oraz 5−elementowych ciągów typu Z z dodanym zerem na początku.

	6 3		5 3		6 3		5 3
Odpowiedź: L(6)−L(5)=		•3•86−3−		•3•85−3=3•82[		•8 −		] =

192•(20•8−10) = 192•150 = 28800, czyli tak jak policzyła Mila

Tomek: jakbym wiedzial gdzie mieszkasz MILA to bym ci chyba piwo postawił.... uratowałaś moje 2 zadania z matury po prostu WIELKIE DZIĘKI I WIELKI SZACUN..... muaaaaa....

Mila: Tomek, Bardzo mi miło, że pomoc skuteczna, piwo nie jest konieczne, wystarczy dobre słowo.

Eta: