nierownosc zombi: a,b≠0

a6		b6
	+		≥ a4 + b4
b2		a2

⇔ a⁸ + b⁸ ≥ a⁶b² + a²b⁶ I takie pytanko, bo to pyka z ciągów jednomonotonicznych (a⁶, b⁶) i (a², b²). Chodzi mi o sam dowód, w czym pomagają te ciągi jednomonotoniczne, nie muszę się bawić algebraicznie czy jak? I czy jest różnica gdy napisze, że są to ciąg (a⁶, b⁶) i tutaj zmienie miejscami (b², a²)

zombi: albo taki przykładzik a,b>0

a3		b3
	+		≥ a2 + b2
b		a

	1		1
ciąg (a3, b3) i (		,		) są jednomonotoniczne.Wystarczy tak, czy muszę udowadniać
	b		a

jeszcze lemat, że jesli (a₁, a₂) i (b₁, b₂) są jednomonotoniczne to a₁b₁+a₂b₂ ≥ a₁b₂ + a₂b₁ a₁(b₁−b₂)−a₂(b₁−b₂) ≥ 0 (a₁−a₂)(b₁−b₂) ≥ 0

zombi: Do sprawdzenia a,b,c>0 2(a³+b³+c³) ≥ ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) ciągi (a², b², c²) i (a, b, c) są jednomonotoniczne, czyli a³+b³+c³ ≥ a²b + b²c + c²a oraz a³+b³+c³ ≥ a²c + b²a + c²b Sumując, mamy 2(a³+b³+c³) ≥ ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c)

zombi: I podbita. Bo mam parę pytań do tych ciągów jednomono.

zombi: a,b,c>0

a2+b2		b2+c2		c2+a2
	+		+		≥ a+b+c
2c		2a		2b

⇔

a2+b2		b2+c2		c2+a2
	+		+		≥ 2(a+b+c)
c		a		b

I teraz kolejno skorzystamy z ciągów jednomonotonicznych:

	1		1
(a2, b2) i (		,		)
	b		a

a2		b2
	+		≥ a + b
b		a

	1		1		1		1
Analogicznie dla (b2, c2) i (		,		) oraz (a2, c2) i (		,		)
	c		b		c		a

Sumując teraz te 3 nierówności mamy

a2		b2		a2		c2		b2		b2
	+		+		+		+		+		=
b		a		c		a		c		c

	a2+b2		b2+c2		c2+a2
=		+		+		≥ 2(a+b+c)
	c		a		b

Basia: dobrze to wszystko robisz

zombi: Bo na razie łatwe przykłady Trafi się hardkor i będę bawił się dwa dni.

zombi: a,b,c >0

a		b		c		1		1		1
	+		+		≥		+		+
b4		c4		a4		a3		b3		c3

No i teraz takie coś

	1		1		1
ciągi (a, b, c) i (		,		,		) są odwrotnie monotoniczne, czyli ich
	a4		b4		c4

iloczyn będzie najmniejszy więc, każdy inna zmiana będzie większa od tego iloczynu, więc bierzemy

1

1

1

1

1

1

a*

+ b*

+ c*

≥

+

+

b4

c4

a4

a3

b3

c3

I koniec tak?

zombi: I jeszcze jedna nierówność a,b,c>0 ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) ≥ 6abc Jako pierwsze na ostrzał idą a²b, b²c, c²a ciągi (a,b,c) i (bc, ac, ab) są odwrotnie monotoniczne, czyli ich 'iloczyn' jest najmniejszy więc a²b + b²c + c²a ≥ 3abc Pozniej mamy ab², bc², a²c, analogicznie (a,b,c) i (bc, ac, ab) są odwrotnie mono., więc bierzemy kolejną permutacje i dostajemy ab² + bc² + a²c ≥ 3abc Sumując dwie nierówności teza. Chociaż ta nierówność ładniej wygląda z AM−GM, no ale dla przećwiczenia. trzeba