pytanko
zombi: Takie pytanie odnośnie nierówności śr. kwadratowa − śr. arytmetyczna. Tak z ciekawości, czy
można jej użyć, gdy nie mamy napisane, że x
1,...,x
n>0, ale jest informacja, że
x
1+...+x
n>0? No bo jakby nie patrzeć
| | x12+...+xn2 | | x1+...xn | |
√ |
| ≥ |
| To podnosząc, tę nierówność do kwadratu, nie |
| | n | | n | |
otrzymamy żadnej 'patologii', ponieważ, L,P>0 więc czy nie można tego udowodnić, gdy spełniony
jest warunek x
1+...+x
n>0.
Gdybyśmy podnieśli tę nierówność do kwadratu.
| x12+...xn2 | | (x1+...xn)2 | |
| ≥ |
| |
| n | | n2 | |
A to się składa w
(x
1−x
2)
2 + ... + (x
1−x
n)
2 +... + (x
n−1−x
n)
2 ≥0
Bo założenie przy nierówności między średnimi jest, aby x
1,...,x
n > 0, ale tj. jeśli chodzi o
wszystkie nierówności, bo przy geo. i harmo. mogłyby powstawać kosmosy.
Więc ostatecznie czy można nierówność (kw−aryt) rozszerzyć, gdy spełniony jest warunek
x
1+...+x
n>0?
2 maj 13:10
Vax: Qm−Am działa dla dowolnych liczb rzeczywistych, nie potrzebujesz nawet założenia, że
x
1+x
2+..+x
n > 0
2 maj 15:06
zombi: Skoro to działa, to rozwalając taki układ
x1+...+xn=n
x12+...+xn2=n
...
x1n+...+Xnn=n
Wystarczy, że pierwsze dwa równanka wrzucę w qm−am i od razu mamy x1=...=xn=1, tak?
2 maj 19:14
PW: Tak, pełna treść twierdzenia mówi nie tylko o nierówności, ale też o tym, kiedy ma miejsce
równość − wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki są sobie równe.
2 maj 19:36
zombi: No no to wiem, tylko nie byłem pewien czy jak zastosuje qm−am między dwoma równaniami to
wystarczy.
2 maj 19:48
zombi: Odkopuję, bo ostatnio bawiłem się ciągami jednomonotonicznymi i dowodzik
QM−AM fajny:
x
1, x
2, ..., x
n >0
| | x12+...+xn2 | | (x1+...+xn) | |
√ |
| ≥ |
| / 2 |
| | n | | n | |
n(x
12+ ... + x
n2) ≥ (x
1+...+x
n)
2
Dla ciągów jmono (x
1, ..., x
n) i znowu (x
1, ..., x
n)
mamy nierówność Czebyszewa, czyli koniec dowodu.
tak mi się przypomniało
AM−HM tak samo chyba idzie dla ciągów jmonotonicznych (a
1, .. a
n) i
3 maj 21:12