AS: Do obliczenia granic stosuję regułe L'Hospitala
Uwaga: Pod lim należy dopisać x → 0
(ja w rozwiązaniu pomijam dla uproszczenia zapisu)
Przykład 1
| | lnx | | 1/x | | −sin2x | |
lim(tgx*lnx) = lim |
| = lim( |
| ) = lim( |
| ) |
| | ctgx | | −1/sin2x | | x | |
Stosuję po raz drugi regułę H.
| | −2*sinx*cosx | |
lim |
| = −2*0*1 = 0 |
| | 1 | |
| | −sin2x | |
Można również obliczyć lim( |
| ) w taki sposób |
| | x | |
| | −sin2x | | sinx | | sinx | |
lim( |
| ) = lim |
| *lim(−sinx) = 1*0 = 0 bo lim |
| = 1 |
| | x | | x | | x | |
Przykład 2 − chyba błędnie wpisany
W postaci podanej
lim(e
x2 − cosx/cosx − 1) = e
0 − 1/1 − 1 = 1 − 1 − 1 = −1
Prawdopodobnie miało być tak
| | e(x2) − cosx | |
lim( |
| |
| | cosx − 1 | |
AS:
Ciąg dalszy rozwiążania
| | ex2 − cosx | | ex2*2*x − (−sinx) | |
lim |
| lim |
| = |
| | cosx − 1 | | −sinx − 1 | |
| | 2*x*ex2 + sinx | | 2*0*1 + 0 | | 0 | |
lim |
| = |
| = |
| = 0 |
| | −sinx − 1 | | −0 − 1 | | −1 | |
Zadanie 2
Zbadac monotoniczność i znależć ekstrema funkcji f(x)= x
2*e
−2x
Wyznaczam pierwszą pochodną
f'(x) = 2*x*e
−2x + x
2*e
−2x*(−2) = 2*e
−2x*(x − x
2)
Wyrażenie 2*e
−2x przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x,
więc nie ma wpływu na znak całości.
Wystarczy zbadać znak wyrażenia x − x
2 = x*(1 − x)
Przedział x 1 − x x*(1 − x)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(−
∞,0) − + −
0 0 + 0
(0,1) + + +
1 + 0 0
(1,
∞) + − −
Z analizy tabeli wynika
w (−
∞,0) funkcja maleje, bo pierwsza pochodna przyjmuje wartości ujemne
w (0,1) funkcja rośnie, bo pierwsza pochodna przyjmuje wartości dodatnie
w (1,
∞) funkcja maleje, bo pierwsza pochodna przyjmuje wartości ujemne
dla x = 0 przyjmuje minimum bo pochodna zmienia znak z − na +
dla x = 1 przyjmuje maksimum bo pochodna zmienia znak z + na −
Wartości ekstremalne:
f(0) = 0
2*e
−2*0 = 0*1 = 0 minimum
f(1) = 1
2*e
−2 = 1/e
2 ≈ 0.135
Tabela zmienności
x −
∞ ↗ 0 ↗ 1 ↗
∞
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
f(x) +
∞ ↘ 0 ↗ 1/e
2 ↘ 0
