wielomianowo zombi: Wykaż, że dla każdej liczby n liczba

	3+√17		3−√17
(		)n + (		)n jest całkowita i nieparzysta
	2		2

Czyli, te liczby są pierwiastkami, x²−3x−2 niech

	3+√17
u=
	2

	3−√17
v=
	2

	26−6√17		13−3√17		9−3√17
u2=		=		=		−1 = 3u−1
	4		2		2

analogicznie v² Teraz oznaczamy a_n=uⁿ+vⁿ a₀=2 a₁=u+v=3 a₂=(3u−1)+(3v−1)=3(u+v)−2=3a₁−a₀ a₃=u(3u−1)+v(3v−1) = 3a₂−a₁ ... a_n=uⁿ⁻²(3u−1)+vⁿ⁻²(3v−1) = 3a_n−1−a_n−2 No i w sumie z tej rekurencji widać, jeśli poprzedni wyraz był nieparzysty to, wyraz ten pomnożony razy 3 minus 2 znowu da liczbę nieparzystą ponieważ nieparzysta−parzysta, nadal jest nieparzysta. A to, że jest liczbą całkowitą również widać. Może być?

zombi: STOP co mi nie gra.

zombi: NIE PATRZEĆ, BO JAKIEŚ RACHUNKI.

zombi: u²=3u+2 v²=3v+2 Teraz a₀=2 a₁=u+v=3 a₂=(3u+2) + (3v+2) = 3a₁+2a₀ a₃=u(3u+2)+v(3v+2)=3a₂+2a₁ ... a_n=uⁿ⁻²(3u+2)+vⁿ⁻²(3v+2)=3a_n−1+2a_n−2 Teraz pyka raczej.

zombi: podbitka

Godzio: Zastrzeżenie jest takie, że nie widać, że wzór rekurencyjny jest na pewno prawdziwy. Ty sobie po prostu wypisujesz, i wyciągnąłeś wnioski, dowodu nie ma.

zombi: Wiem to indukcyjnie można pewnie, tylko chodzi mi o sam zamysł.

Trivial: Jest prostszy sposób, o którym zaraz napiszę.

Trivial:

	3+√17		3−√17
an = (		)n + (		)n
	2		2

	3+√17		3−√17
Można zauważyć, że liczby λ1 =		oraz λ2 =		są pierwiastkami pewnego
	2		2

trójmianu kwadratowego. Potrzebujemy dowolnego takiego trójmianu kwadratowego. A(λ) = aλ² + bλ + c Dobieramy np. a = 1, wtedy b = −3 oraz c = −2, skąd: A(λ) = λ² − 3λ − 2 Trójmian ten jest wielomianem charakterystycznym równania rekurencyjnego: a_n − 3a_n−1 − 2a_n−2 = 0 → a_n = 3a_n−1 + 2a_n−2 Z postaci równania oraz z dwóch początkowych wyrazów (a₀ = 2, a₁ = 3) można wywnioskować tezę.

zombi: O co chodzi z tym przejściem i tym zdaniem "Trójmian ten jest wielomianem charakterystycznym równania rekurencyjnego: a_n − 3a_n−1 − 2a_n−2 = 0 → a_n = 3a_n−1 + 2a_n−2" ?

zombi: Podbijam, bo nie czaje tego kroczku Trivial, ja bym starał się to indukcyjnie obalić jak coś.

Trivial: Oj, nie widziałem, że odpisałeś. Tu wyjaśnione: http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_rekurencyjne