matura 2013 camel: Ciąg (a,b,c) jest ciągiem arytmetycznym. Suma jego wyrazów jest równa 18. Jeżeli pierwszą z liczb zmniejszymy o 25% a trzecią o zwiększymy o 50%, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz liczby a,b,c Dany jest równoramienny trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna ma długość 2. Bok AB prostokąta ABCD zawiera się w przeciwprostokątnej tego trójkąta, zaś punkty C i D należą do przeciwprostokątnych. Oblicz długości boków prostokąta ABCD wiedząc, że kwadrat długości jego przeciwprostokątnej AC ma wartość najmniejszą z możliwych. Bardzo proszę o pomoc

camel: damy rade ?

Mila: a+b+c=18 a+a+r+a+2r=18 3a+3r=18 a+r=6⇔b=6, zapiszemy c. arytmetyczny w zależności od r 6−r,6,6+r Zmieniamy odpowiednio wyrazy

3		3
	(6−r), 6 ,		(6+r) − kolejne wyrazy c. geom.⇔
4		2

	3		3
62=		(6−r)*		(6+r)
	4		2

	9
36=		(36−r2)
	8

r=2 lub r=−2 C. Arytm. 4,6,8 lub 8,6,4 spr.

	1
1) 4−		*4=3
	4

	1
8+		*8=12
	2

ciąg:3,6,12 jest geometryczny , q=2

	1
2) 8−		*8=6
	4

	1
4+		*4=6
	2

ciąg: 6,6,6 ciąg geom. stały

Mila: Popraw treść zadania . Punkty Ci D należą.... Kwadrat.....

camel: zaś punkty C i D należą do przeciwprostokątnych. Oblicz długości boków prostokąta ABCD wiedząc, że kwadrat długości jego przeciwprostokątnej AC ma wartość najmniejszą z możliwych.

camel: ale czy te ciąg można traktować jaka kolejne wyr jak tam pisze że jest on tylko cięgiem arytmetycznym ?

Mila: Camel, w trójkącie prostokątnym masz jedną przeciwprostokątną i 2 przyprostokątne, w prostokącie nie ma przeciwprostokątnej lecz jest przekątna. Chodzi mi o to, abyś nie mylił pojęć. To ważne. Po obiedzie pomogę, jeśli nikt nie napisze wcześniej.

Mila:

camel: sorry Mila już mi się miesza wszystko. Wybacz to takie drobne błędy słowne

camel: Dany jest równoramienny trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna ma długość 2. Bok AB prostokąta ABCD zawiera się w przeciwprostokątnej tego trójkąta, zaś punkty C i D należą do przyprostokątnych. Oblicz długości boków prostokąta ABCD wiedząc, że kwadrat długości jego przekątnej AC ma wartość najmniejszą z możliwych. Tak ma być

Mila: Tak. Piszę.

Mila: |KL|=2 |AC|²=x²+y² W ΔKAD:

	x
tg45=
	|KA|

x
	=1
(KL−y):2

2x
	=1
2−y

2x=2−y y=2−2x |AC|²=f(x)=x²+(2−2x)² f(x)=x²+4−8x+4x² f(x)=5x²−8x+4 parabola skierowana ramionami do góry, wartość najmniejsza w wierzchołku paraboli

	8		4
xw=		=
	10		5

	4
y=2−2*
	5

	2
y=
	5

odp.

	4
x=
	5

	2
y=
	5

camel: całkiem sprytnie Mila ale jeszcze takie pytanie do zadania pierwszego : potraktowałaś to jak trzy kolejne wyr ciągu arytmetycznego. Skąd wiesz ze tak jest ?

Mila: Tak pisze, że jest to ciąg arytmetyczny.

camel: czyli spokojnie moge potraktować to jako kolejne wyr ciągu arytmetycznego ?