Przwciwdziedzina+Trygonometria V.Abel: Witam, mam pytanie, w jaki sposób wyznaczyć przeciwdziedzinę:

	1
f(x)=
	1−tgx

Bardzo proszę o pomoc z wyjaśnieniem.

V.Abel: próbowałem to rozpisać tak: − nieskończoność ≤ tgx ≤ + nieskończoność | (−1) + nieskończoność ≥ −tgx ≥ − nieskończoność |+1 + nieskończoność ≥ −tgx+1 ≥ − nieskończoność | do potęgi⁻¹

1		1
	≥ f(x) ≥
∞		−∞

taaa, ale to są wyrażenia nieoznaczone, jak się postępuje przy wyznaczaniu zbioru wartości? ? ?

PW: Powziąć słuszne podejrzenie, że wartością może być dowolna liczba różna od zera. Poprzeć to podejrzenie rozwiązując równanie f(x)=a dla a≠0 − jeżeli zawsze da się rozwiązać (nie trzeba rozwiązywać, tylko pokazać, że rozwiązanie istnieje), to znaczy że f(x) przyjmuje wartość a.

V.Abel: Dlaczego mam zakładać, że rozwiązaniem może być wszystko poza zerem?

PW: Bo tangens przyjmuje dowolne wartości rzeczywiste, więc 1−tgx też i odwrotność tej liczby też (oprócz zera). W innych zadaniach, w których nie jest to takie oczywiste, po prostu pokazywać, dla jakich a istnieją rozwiązania równania f(x) = a. Zbiór tych wszystkich a jest zbiorem wartości funkcji f.

V.Abel: Ok, przećwiczę, jakby co, dam znać. Dzięki Mam jeszcze pytanie odnośnie funkcji homograficznej. Intryguje mnie jak wyprowadzić wzór na asymptotę poziomą. Ma ktoś pomysł? Bo pionowa, to mianownik różny od zera, ale co z poziomą ?

V.Abel:

	ax+b
f(x)=		, gdzie c≠0
	cx+d

* skąd się wziął warunek ad−bc≠0 ? ? ?

	a
* asymptota pozioma y=		−−> skąd? ? ?
	c

Bardzo proszę o pomoc, serio, jak to wyznaczyć? ? ?

V.Abel: hej, niech ktoś tu zajrzy, bardzo proszę, poza tym PW mam takie pytanko odnośnie metody f(x)=a jak mam znaleźć zbiór wartości |sinx|+1=f(x), to robiąc Twoją metodą dochodzę do: |sinx|=a−1 ==> sin−a−1 lub sinx= −a+1 i teraz już nie wychodzi, przecież parametr traktujemy tu jak liczbę, własność powinna zadziałać? ? ?

PW: W takim prostym wypadku to chyba niepotrzebnie utrudniamy sobie. Wiadomo z własności funkcji sinus, że 0 ≤ |sinx| ≤1, po dodaniu stronami liczby 1 1 ≤ |sinx|+1 ≤ 2, czyli 1 ≤ f(x) ≤ 2, a więc zbiorem wartości jest przedział <1,2>. To co pisałem o pokazywaniu, ze istnieje rozwiązanie równania f(x)=a to po prostu definicja zbioru wartości, stosowałbym to w ostateczności, kiedy nic nie wiadomo o badanej funkcji.

V.Abel: PW ale ja wiem, że ten przykład, co tu podałem jest trochę skrajny .Dzięki, za pokazanie jak to zorbić ale mógłbyś mimo wszystko wyjaśnić, dlaczego nie mogę zrobić jak napisałem, co jest powodem tego, że w taki sposób nie wychodzi?

V.Abel: bd wdzięczny, jak ktoś mi odpowie

Basia: tak naprawdę policzyłeś granice z f(x) przy tgx→±∞ a to przecież nic nie daje jeżeli chcesz poprawić swoją metodę to tak: tgx ≠ 1 bo mianownik nie może się zerować czyli tgx ∊ (−∞; 1)∪(1;+∞) tgx<1 lub tgx>1 −tgx> −1 lub −tgx<−1 1−tgx >0 lub 1−tgx<0

1		1
	>0 lub		<0
1−tgx		1−tgx

f⁻¹ = R\{0} ale łatwiej (chociaż dłużej) tak

1
	= m
1−tgx

1 = m−m*tgx m*tgx = m−1 dla m=0 mamy 0 = −1 sprzeczność czyli 1∉f⁻¹ dla m≠0

	m−1
tgx =
	m

to równanie ma rozwiązanie dla każdego m, ale z założenia

m−1
	≠1
m

m−1 ≠ m 0 ≠ 1 zawsze prawda, czyli już nic nie odrzucamy stąd m∊R\{0} czyli f⁻¹ = R\{0}

V.Abel: Basia −dzięki Ale mi chodzi konkretnie o to, że szukając zbioru wartości tak jak pokazał PW lub tak jak wytłumaczyłaś, to dla prostego przykładu(gdzie przeciwdziedzinę widać od razu gołym okiem): |sinx|+1=f(x) widać, że Y∊<1;2> ALE |sinx|+1=a, a∊R sinx+1=a lub sinx+1=(−a) czyli sinx=a−1 lub sinx=(−a)−1 no i teraz jest, że a∊<0;2> Co TU konkretnie jest nie tak?

PW: |sinx|+1=a ⇔ |sinx| = a−1 ⇔ sinx=a−1 ∨ sinx=−a+1

V.Abel: PW racja , ale to nie zmienia rzeczy, że w ten sposób otrzymujesz a∊<0;2>, gdzie powinno być a∊<1;2> Gdzie tu tkwi hak?

V.Abel: Ja robię to tak wtedy, że −1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ −1 ≤ a−1 ≤ 1 lub −1 ≤ 1−a ≤ 1 skąd a∊<0;2>, a ma być <1;2>

pigor: ..., otóż |sinx|+1=y ⇔ |sinx}= y−1 , a to z def. wartości bezwzględnej i |sinx}≤ 1 ma sens ⇔ ⇔ 0 ≤ y−1 ≤ 1 /+1 ⇔ 1 ≤ y ≤ 2 ⇔ y∊<1;2> . ...

pigor: ..., a co do funkcji homograficznej to np. tak :

	ax+b
y=		⇒ y(cx+d)= ax+b ⇒ ycx−ax= b−dy ⇔ x(yc−a)= b−dy ⇒
	cx+d

	b−dy		a
⇒ istnieje x=		⇔ yc−a≠ 0 ⇔ yc≠ a ⇔ y≠		i c≠0 , czyli
	yc−a		c

	a
y=		− szukane równanie asymptoty poziomej . ...
	c

V.Abel: Pigor− dzięki w jednym, jak i w drugim pytaniu, czyli rozumiem, że takie postępowanie z sinusem jak pokazałem, jest niepoprawne, bo nie dąży do wzynaczenia wartości modułu tylko samego sinusa?