Podaj resztę z dzielenia Smilowa: (x²⁰¹³ + x²⁰¹² + x²⁰¹¹ + x³ + x² + x +1) : (x⁹ + x⁸ + x⁷+ ... + x² + x + 1) =

PW:

	xn+1
		=xn+xn−1+...+x+1
	x−1

PW: zżarło trochę wzoru, poprawka:

	xn+1−1
		=xn+xn−1+...+x+1
	x−1

AC: Oznaczmy: W(x)=x²⁰¹³+x²⁰¹²+... + x + 1 P(x)=x⁹+x⁸+... + x + 1 W(x)=Q(x)*P(x) + R(x), gdzie Q(x) −wynik dzielenia R(x)−reszta wielomian co najwyżej st 8 ponieważ P(x)*(x−1)= x¹⁰ −1 pierwiastki wielomianu P(x) to ω_k = e^i2πk/10 dla k=1;2;...;8;9 oczywiście ∀_k ω_k¹⁰ =1 i ten fakt wykorzystamy Obliczmy wartość wielomianu W(x) w tych miejscach zerowych:

	ωk2014 − 1		ωk4 − 1
W(ωk) =		=		=
	ωk − 1		ωk − 1

= ω_k³ + ω_k² + ω_k +1 i już widać że jeśli reszta R(x) = x³ + x² + x +1 to dla tych 9 ω_k przyjmie takie same wartości Oczywiście można i należy jeszcze wykazać, że to jedyny taki wielomian, ale to jest dosyć proste.

Smilowa: A na chłopski rozum?

PW: Na chłopski rozum (nie mając żadnej wiedzy o liczbach zespolonych) wykonałbym dzielenie (i to miałem na myśli dajac tak lakoniczną podpowiedź): x²⁰¹⁴−1:x{10}−1) = x²⁰⁰⁴+x¹⁹⁹⁴+x¹⁹⁸⁴+•••+x⁴=[ozn]=Q(x) −x²⁰¹⁴+x²⁰⁰⁴ −−−−−−−−−−−−−−−− x²⁰⁰⁴−1 −x²⁰⁰⁴+x¹⁹⁹⁴ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− x¹⁹⁹⁴ − 1 ••••••••••••••• −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− x¹⁴ − 1 −x¹⁴+x⁴ −−−−−−−−−−−−−− x⁴−1 Widać, że reszta z dzielenia jest równa x⁴−1 Mamy więc (po oznaczeniu symbolami W(x) i P(x) wielomianów danych w zadaniu):

	W(x)		x2014		x4−1
		=		=Q(x)+		=
	P(x)		x10−1		x10−1

	x4−1		(x−1)(x+1)(x2+1)
Q(x)+		=Q(x)+		=
	P(x)(x−1)		P(x)(x−1)

	(x+1)(x2+1)
=Q(x)+
	P(x)

Odpowiedź: Reszta z dzielenia jest wielomianem R(x)=(x+1)(x²+1)=x³+x²+x+1, czyli tak jak u AC (inaczej być nie mogło). Jedyna trudność to zrozumienie, dlaczego reszta z dzielenia jest nie x⁴−1, a (x+1)(x²+1) − ostatnie dwie linijki, co starałem się podkreślić kolorami.