znajdz parametr m Eryk: Pomoże mi ktoś rozwiązać zadanie na sprawdzian? Wyznacz wartość m, dla których rówanie (m−2)x⁴−2(m+3)x²+m−1=0 ma cztery pierwiastki różne od 0.

krystek: !) a≠0⇒(m−2)≠0 2)Δ>0 i po podstawieniu x²=t musisz miec t₁ i t₂ dodatnie (i teraz wzoty Viete'a)

Mateusz: obliczylem delte i co dalej?

Dominik: kiedy funkcja kwadratowa ma dwa dodatnie pierwiastki?

Mateusz: kiedy delta jest dodatnia?

Dominik: dla dodatniej delty sa dwa rozne piewiastki, ale moga byc dowolnych znakow.

Dominik: nie masz nic w notatkach z lekcji?

Mateusz: chodzi o to zeby wspolczynnik byl dodatni

Dominik: nie. widze, ze nic nie wymyslisz. zapisz warunki t₁t₂ > 0 oraz t₁ + t₂ > 0 (dlaczego?)

Mateusz: dziekuje

Dominik: a domyslasz sie, w ogole po co takie zalozenia?

Mateusz: nie mam pojęcia

Dominik: wszystko bierze sie z podstawienia t = x², do ktorego dajemy zalozenie t ≥ 0, poniewaz liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna. zatem zeby byly cztery dodatnie pierwiastki musimy miec dwa rozne dodatnie pierwiastki t₁ i t₂. wtedy pierwiastkami rownania dwukwadratowego sa: x₁ = √t₁, x₂ = −√t₁, x₃ = √t₂, x₄ = −√t₂. pytanie: co z zerem? w koncu podstawienie t = x² dopuszcza t = 0. otoz dla t = 0 nie otrzymamy dwoch roznych pierwiastkow x, bo dla x² = 0 jest wciaz jeden pierwiastek x = 0. stad ostatecznie zalozenia Δ > 0 ∧ t₁t₂ > 0 ∧ t₁ + t₂ > 0. skad sie wzielo zalozenie m − 2 ≠ 0 chyba jasne − wielomian musi byc stopnia czwartego by mial 4 pierwiastki.

Mateusz: A co ja mam wyznaczyc z tego: t1t2 > 0 ∧ t1 + t2 > 0 ?

Dominik: znasz wzory viete'a?

Mateusz: tak ale nie umiem z nich kozystac. zawsze robilem x=−(b=+/−√Δ)/2

Dominik: to lepiej zebys je zapamietal, bo ulatwiaja zycie. dla ax² + bx + c

	−b
x1 + x2 =
	a

	c
x1x2 =
	a

Mateusz: wiec ma byc 2(m+3)/m−2=t1+t2 i m−1/m−2=t1t2