znajeżć punkt P leżący na prostej Makados: Punkt P należy do prostej l o równaniu y=3x−1 wyznacz współrzędne punktu P tak aby suma kwadratów jego odległości od punktów A(−2,5) B(1,−4) była najmniejsza.

AS: A(−2,5) , B(1,−4) P(x,3*x − 1) AP² = (x + 2)² + (3*x − 6)² = x² + 4*x + 4 + 9*x² − 36*x + 36 AP² = 10*x² − 32*x + 40 BP² = (x − 1)² + (3*x + 3)² = x² − 2*x + 1 + 9*x² + 18*x + 9 BP² = 10*x² + 16*x + 10 s = AP² + BP² = 10*x² − 32*x + 40 + 10*x² + 16*x + 10 s = 20*x² − 16*x + 50 Pochodna

	16
s' = 40*x −16 = 0 ⇒ x =		= 0.4
	40

y = 3*0.4 − 1 = 1.2 − 1 = 0.2 Szukany punkt P(0.4,0.2)

Makados: A o co chodzi z tą pochodnął?

AS: Chłopie kochany! Zerknij do zeszytu lub podręcznika o co chodzi.Pytasz się o elementarną rzecz. Pochodną wyznacza się ekstrema funkcji,bada przebieg zmienności funkcji i wiele innych rzeczy

Makados: sorry nie jestem dobry z matmy a o co chodzi jeszcze z tym zapisem s'=40x−16... skąd to się wzieło

AS: Kochany! Chcesz bym w krótkich słowach opisał całą teorię rachunku różniczkowego, kilkaset bitych stron.

Bogdan: To jest szkic sytuacji przedstawionej w zadaniu. Dobry wieczór. Witaj Asie. To jest zadanie z drugiej klasy liceum z działu Funkcja kwadratowa. W szkole średniej od kilku lat nie ma w materiale nauczania rachunku pochodnych. Makados nie ma więc informacji na ten temat w swoim podręczniku i w zeszycie. Jego zdziwienie jest tu uzasadnione. Rozwiązanie: z − suma kwadratów odległości punktu P(x_P, y_P) = (x_P, 3x_P − 1) od punktów: A(−2, 5) i B(1, −4). Punkt P leży na prostej y = 3x − 1, stąd y_P = 3x_P − 1. z = |AP|² + |BP|² → min z = (x_P + 2)² + (y_P − 5)² + (x_P − 1)² + (y_P + 4)² Po wstawieniu 3x_P − 1 w miejsce y_P, wykonaniu działań z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia i uporządkowaniu zapisu otrzymujemy z zależne od x_P: z(x_P) = 20x_P² − 16x_P + 50 Funkcja z(x_P) jest funkcją kwadratową, której wykres jest parabolą skierowaną ramionami w górę, czyli posiadającą minimum, odcięta tego minimum (czyli współrzędna iksowa

	16		2
wierzchołka paraboli): xP =		=		.
	2*20		5

	2		1
yP = 3xp − 1 = 3*		− 1 =		.
	5		5

	2		1
Odp.: P = (		,		).
	5		5

AS: No tak nieporozumienie. Sądziłem że to poziom uniwersytecki stąd metoda pochodnych.