potęgowanie jaryn93: Pytanie. Kiedy mamy przykładowe równanie: a + b = c / ()² to mamy (a + b)² = c² ,czy a² + b² = c² ?

bezendu: (a+b)²=c² ale jak już to a²+2ab+b²=c²

jaryn93: dziękuję

Cusack: podnosisz obie strony do kwadratu lewa strona jest równa a+b podnosimy lewą stronę do kwadratu czyli (a+b)²

PW: To pierwsze, ale podnosić do kwadratu bez obawy można tylko wtedy, gdy wiemy, że obie strony równości są dodatnie. W przeciwnym wypadku można uzyskać błędne informacje (np. pierwiastki równania kwadratowego nie muszą być pierwiastkami tego pierwotnego).

jaryn93: czyli kiedy są ujemne nie można potęgować? czy trzeba rozważać 2 przypadki?

PW: x−5=−7 Równanie ma jeden pierwiastek x₁=−2 Po podniesieniu do kwadratu otrzymamy (x−5)² =7² x²−10x+25=49 x²−10x−24=0 (x−12)(x+2)=0 To równanie ma dwa pierwiastki: x₁=−2 i x₂=−12. Przykład pokazuje niebezpieczeństwo − w wyniku podniesienia do kwadratu otrzymaliśmy równanie, które ma więcej pierwiastków niż wyjściowe. Taki sposób postępowania jest dopuszczalny, tyle że wymaga sprawdzenia − które z pierwiastków są dobre, a które są "obce" − powstałe w wyniku podniesienia do kwadratu. Najgorsze jest to, że bardzo często zapomina się o tym sprawdzeniu. Tego niebezpieczeństwa nie ma, gdy wiemy, że obie strony są dodatnie, albo obie ujemne. Dla a,b>0 równości a=b i a²=b² są równoważne, to samo gdy wiemy, że obie liczby są ujemne. wynika to z faktu, że funkcja f(x)=x² rozpatrywana na przedziale (0,∞) jest różnowartościowa; rozpatrywana na przedziale (−∞,0) też jest różnowartościowa. To są jednak mało przydatne fakty. Zazwyczaj nie wiemy, jakich znaków są obie strony (lub mogą mieć dla różnych x różne znaki, tak jak w podanym przykładzie lewa strona), więc podnoszenie do kwadratu wymaga ostrożności przy wyciąganiu wniosków.