Zbadaj monotoniczność ciągów Paweł: Zbadaj monotoniczność ciągów, korzystając z kryterium ilorazowego.

	an+1
−jeśli an>0 i		>1, to ciąg (an) jest rosnący.
	an

	an+1
−jeśli an>0 i		<1, to ciąg an jest malejący.
	an

	(n+2)!
an=		n≥3
	(n−2)!

	(n+3)!
an+1=
	(n−1)!

an+1
	=? Nie za bardzo wiem jak to mogę zrobić.
an

Mógłby ktoś zerknąć

PW: Nie umiesz podzielić jednego ułamka przez drugi? To się pięknie uprości.

Paweł:

(n+3)!		(n−2)!
	*
(n−1)!		(n+2)!

Paweł: Przecież to się nie uprości?

Paweł:

Paweł:

Bogdan: np. 9! = 7!*8*9 albo 9! = 8!*9 (n + 3)! = (n + 2)!*(n + 3) analogicznie (n − 1)! = ...

Paweł:

(n+2)!*(n+3)		(n−1)!(n−2)
	*		=(n+3)(n−2)=n2+n−6 ⇒Dany ciąg nie jest
(n+1)!		(n+2)!

monotoniczny. zgadza się?

Bogdan: źle

Paweł: Dlaczego?

Paweł: A tak, rzeczywiście, źle przepisałem.

(n+2)!*(n+3)		(n−1)!(n−2)
	*
(n−1)!		(n+2)!

Paweł: Ale to nic nie zmienia, hm.

xxx: Bo nie myślisz! Bogdan napisał Ci że (n−1)! trzeba zrobić analogicznie, jeśli rozumiesz to słowo to zrób jak należy!

Paweł: (n−1)!=n!*(n−1)

xxx: (n − 1)! =(n − 1)*(n − 2)!

Paweł: dzięki xxx, nie pamiętam totalnie dwumianu Newtona. Wracając:

(n+2)!*(n+3)		(n−1)(n−2)!
	*
(n−1)*(n−2)!		(n+2)!

Coś tutaj chyba jeszcze pomieszałem.

Paweł:

(n+2)*(n+3)!		(n−1)(n−2)!
	*
(n−1)*(n−2)!		(n+2)!

Bogdan: Wciąż źle. Tu nie występuje dwumian Newtona.

Paweł:

	(n+3)
=
	(n−1)

Mam nadzieję, że jest ok.

Paweł: A doszedłem do tego tak:

(n+2)!*(n+3)		(n−2)!
	*
(n−1)*(n−2)!		(n+2)!

Paweł: Dalej źle?

Paweł:

Bogdan: dobrze, ale niepotrzebne są nawiasy.

an+1		n + 3
	=
an		n − 1

Paweł: Dany ciąg nie jest monotoniczny, ale maleje począwszy od trzeciego wyrazu. Dzięki Bogdan.

Bogdan: Trzeba rozważyć jeszcze raz sformułowanie: "maleje począwszy od trzeciego wyrazu"

Paweł: maleje począwszy od szóstego wyrazu.*

Paweł: Boże, on jest rosnący. Tragedia.

Paweł: Mam tutaj jeszcze ostatni przykład z n! .

	3n
an=
	n!

	3n*3
an+1=U{3n+1}{(n+1)!=
	(n+1)!

an+1		3n*3		n!		3n*3		n*(n+1)!
	=		*		=		*		=3n
an		(n+1)!		3n		(n+1)!		3n

Zgadzałoby się?

Paweł:

Bogdan:

	3n
an =
	n!

	3n*3
an+1 =		, (n + 1)! = n!*(n + 1)
	n!*(n + 1)

	an+1
Wyznacz jeszcze raz
	an

Paweł:

an+1		3
	=		, ciąg nie jest monotoniczny i maleje począwszy od trzeciego wyrazu.
an		n+1

Bogdan: