równanie tryg
k: równanie trygonometryczne − drobne pytanie.
8|sinx| = |x+20| + |x+28|
podniosłem stronami do kwadratu, bo obie strony są dodatnie, ale wtedy nic dobrego
nie wychodzi.
Wnioskuję, że nie mogę podnieść do kwadratu, ale dlaczego?
27 kwi 20:41
k: up
27 kwi 21:10
Kejt: skąd wiesz, że sinx>0?
27 kwi 21:14
Kejt: hmm.. to jest oryginalne równanie?
pogubiłam się trochę
27 kwi 21:15
k: nie wiem, ale |sinx| jest większe od zera.
chyba najlepiej byłoby rozwiązać graficznie, ale chciałbym zobaczyć algebraicznie.
Tak, oryginalne, z dzisiejszego próbnego arkusza zadania.info
Dlatego nie chcę rozwiązania, tylko drobną wskazówkę
27 kwi 21:19
Kejt: dlatego pytałam, że to oryginalne..
a próbowałeś jak zwykłe równanie z wartością bezwzględną? − przedziałami..
27 kwi 21:20
Eta:
0≤|sinx|≤1
0≤8|sinx|≤8 ⇒ 0≤|x+20|+|x+28|≤8
i teraz ........
27 kwi 21:20
k: nie próbowałem.
chciałbym tylko wiedzieć, dlaczego do tego kwadratu nie mogę podnieść?
27 kwi 21:22
Trivial:
Poprzez podniesienie równania do kwadratu otrzymujemy więcej (albo co najmniej tyle samo)
rozwiązań co w równaniu oryginalnym.
Przykład:
2x = x+1 → rozwiązanie: x=1
Podnosimy do kwadratu:
4x
2 = x
2 + 2x + 1
3x
2 − 2x − 1 = 0
Δ = 4 + 12 = 16;
√Δ = 4
| | 2±4 | | 1 | |
x = |
| → x1 = 1, x2 = − |
| ← dostaliśmy więcej rozwiązań niż wcześniej. |
| | 6 | | 3 | |
27 kwi 21:22
k: dzięki.
Trivial, ale jeśli jest pewność (albo da się załozenia) że obie strony są nieujemne to też
nie zawsze można podnieść do kwadratu?
27 kwi 21:53
k: ?
27 kwi 22:21
k: up
27 kwi 22:54
Trivial:
k, ale ja nie powiedziałem, że nie można podnosić równań do kwadratu. Trzeba tylko uważać,
gdyż zwykle otrzymujemy więcej rozwiązań niż wcześniej. Przeanalizujmy proces... Mamy równanie
typu:
a = b
podnosząc je do kwadratu otrzymujemy
a
2 = b
2
Widzimy, że utraciliśmy informację o znaku. Po rozwiązaniu równania a
2 = b
2 otrzymamy sumę
rozwiązań równań a = b oraz a = −b. Jeśli poczynimy pewne założenia odnośnie znaku jednej ze
stron, to informacji nie utracimy.
Na przykład, jeżeli wiemy, że obie strony są dodatnie (albo ujemne) to możemy bezpiecznie
podnieść równanie do kwadratu.
Mam nadzieję, że wyjaśniłem.
27 kwi 23:07
Mila:
Skorzystaj umiejętnie z własności |a|+|b|≥|a+b|
28 kwi 00:22
k: a czy w tym równaniu
8|sinx|=|x+20|+|x+28|
obie strony nie są dodatnie(równe zero)?
Bo jak dla mnie są i dlatego podniosłem do kwadratu.
Mila, mogłabyś rozwinąć
28 kwi 00:48
Trivial: Obie strony są dodatnie − możesz podnosić do kwadratu bez utraty informacji.
28 kwi 09:09