wielopocho zombi: Dane są wielomiany P(x) = xⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ oraz Q(x) = x^m + b_m−1x^m−1 + ... + b₁x + b₀ spełniające warunek P(x)² = (x²−1) Q(x)² + 1 Wykaż, że P'(x) = nQ(x) Jakaś podpowiedź tyci tyci?

zombi: To, że m=n−1, mamy z porównania najwyższych potęg 2n=2+2m ⇒ m=n−1, jeszcze z tymi współczynnikami trzeba pokombinować.

Vax: Na początku pokaż, że NWD(P,Q) = 1, a potem zróżniczkuj równość daną w założeniu i wyciągnij stamtąd wniosek, że Q(x) | P'(x)

zombi: Vaxiu, jak pokazać to, że są względnie pierwsze? Bo np. jakbym oznaczył sobie P(x)=s Q(x)=t to miałbym, ze s−(x²−1)*t=1 i teraz tak oznaczę, sobie d=x²−1, czyli mam s−dt, wiadomo, ze (1,d)=1, i teraz w sumie mógłbym pokazać, że (s,t)=1 w ten sposob, zalozmy ze s=ap i t=bp gdzie p>1 (oczywiscie (a,b)=1 wtedy w najsze równosci mielibysmy ap−dbp=1 p(a−db)=1 ⇒ p=1 czyly sprzecznosc, więc wracajac do s−dt otrzymamy, ze (s,t)=1, czyli (P²,Q²)=1 nie wiem czy stąd wynika, że (P,Q)=1. Jesli pisalem wczesniej totalne bzdury to mów mi albo pokaz jak pokazac ze sa wzglednie pierwsze.

zombi: Podbijam...

zombi: I znowu.

zombi: I raz jeszcze : P

AC: Są pierwsze ponieważ nie mają wspólnych miejsc zerowych.

zombi: no tak AC masz racje prościej jest, że nich a jest pierwiastkiem wielomianu P i Q, wtedy mamy P(a)=0 ≠ Q(a)+1=1 sprzecznosc

zombi: no to dobra skoro(P,Q)=1 to różczniczkując nasze równanie mamy P(x)*P'(x) = Q(x) [(x² Q'(x)−Q'(x)+x Q(x))] Wielomian P(x) jest stopnia n−tego natomiast Q(x) n−1, więc [(x² Q'(x)−Q'(x)+x Q(x))] jest również stopnia n, zatem przy dzielnie L przez Q(x), otrzymujemy po obu stronach wielomiany stopnia n−tego, wiedząc, że (P,Q)=1, wnioskujemy, że Q(x) | P'(x)) Teraz porównajmy współczynniki przy najwyższych potęgach wyrażeń P(x) oraz [(x² Q'(x)−Q'(x)+x Q(x))] Z tego, że Q(x) | P'(x) mamy k*P(x) = [(x² Q'(x)−Q'(x)+x Q(x))] k*P(x) = k*xⁿ + k*a_n−1+xⁿ⁻¹ +... [(x² Q'(x)−Q'(x)+x Q(x))] = x² * [(n−1)xⁿ⁻²+...] − [(n−1)xⁿ⁻²] + x * [ xⁿ⁻¹+...] = [(n−1)*xⁿ + xⁿ + ... ] = n*xⁿ+... Stąd wynika, że k=n, zatem oczywiście P'(x)=nQ(x)