Problem Piotr: Dane są liczby wymierne a ≠ 0 , b i k > 0 takie, że liczby x₁=1−√k i x₂=1+√k + k są pierwiastkami równania ax³ + bx² + cx+ d = 0 . Wykaż, że c i d są liczbami wymiernymi. Próbowałem to zrobić za pomocą ''postaci iloczynowej''. Ale mam równanie do trzeciej potęgi a miejsc zerowych tylko dwa. Proszę o jakąś wskazówkę Dzięki

jikA: Jeżeli wielomian trzeciego stopnia ma dwa pierwiastki rzeczywiste to musi mieć również i trzeci pierwiastek rzeczywisty ponieważ dzieląc wielomian stopnia trzeciego przez wielomian stopnia drugiego otrzymamy wielomian stopnia pierwszego bez reszty który ma na pewno pierwiastek rzeczywisty.

ax3 + bx2 + cx + d
	= hx + i
ex2 + fx + g

ax³ + bx² + cx + d = (hx + i)(ex² + fx + g) hx + i = 0 (jeden pierwiastek) ex² + fx + g = 0 (dwa pierwiastki).

Eta: a,b,k€W Ze wzorów Viete^'a dla równania st, 3

	−b
x1+x2+x3=
	a

	c
x1*x2+x1*x3+x2*x3=
	a

	−d
x1*x2*x3=
	a

	−b
x1+x2= 1−√k+1+√k=2 , to x1+x2+x3= 2+x3=		⇒ x3€W
	a

x₁*x₂= (1−√k)(1+√k)= 1−k€W

	c
x1*x2+x3(x1+x2)= 1−k +x3*2=		€W
	a

zatem d, c€W

Eta: To zadanie z próbnej matury info powinno być : x₁= 1−√k , x₂= 1+√k ( Piotr napisał pomyłkowo x₂= 1+√k +k

Piotr: Przepraszam najmocniej, że źle napisałem . Dziękuję Wam za pomoc