wykaż że! madzi: wykaż że dla dowolnych różnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność

a+b		a2+b2
	< P{		}
2		2

Wykorzystując nierówność z punktu a wykaż że pradziwa jest nierówność √2¹⁰⁰−2 + √2¹⁰⁰+2< 2⁵¹

Mila: a=√2¹⁰⁰−2, a²=2¹⁰⁰−2 b=√2¹⁰⁰+2 b²=2¹⁰⁰+2

√2100−2+√2100+2
	<√(2100−2+2100+2)/2⇔
2

√2100−2+√2100+2
	<√(2*2100)/2⇔
2

√2100−2+√2100+2
	<250 /*2
2

√2¹⁰⁰−2+√2¹⁰⁰+2<2⁵¹

Dominik: pierwsze jest prawda z nierownosci cauchy'ego o srednich (sr. kwadratowa ≥ sr arytmetyczna).

PW: Dowód nierówności polega na rozpatrzeniu funkcji kwadratowej f(x) = (x−a)²+(x−b)². Funkcja ta przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne (bo jest sumą kwadratów), a więc jej wyróżnik Δ jest niedodatni. Rozwiązanie nierówności Δ≤0 daje 4(a+b)²−8(a²+b²)≤0, czyli

	(a+b)		a2+b2
(		)2 ≤		,
	2		2

co jest równoważne zadanej nierówności. Warto raz w życiu "rozpisać" funkcję f i samodzielnie tę Δ policzyć. Ten sam sposób rozumowania z większą liczbą składników w definicji funkcji f pozwala udowodnić nierówność

	a+b+c		a2+b2+c2
(		)2 ≤
	3		3

i tak dalej − dla dowolnej liczby składników. Też warto samodzielnie przeprowadzić wszystkie rachunki.